1.4.2 存在量词优秀教案案例

选修1—1 1.4.2 存在量词（教学设计）

----益阳市第十四中学

邱佳

【教学目标】

知识目标：通过教学实例，理解存在量词的含义；能够判别全称命题和特称命题，掌握其特称命题判断真假的方法以及通过命题的真假来求参数。

能力与方法：通过观察命题、科学猜想以及通过参与过程的归纳和问题的演绎，培养学生的观察能力和概括能力；通过问题的辨析和探究，培养学生良好的学习习惯和反思意识；

情感、态度与价值观：通过引导学生观察、发现、合作与交流，让学生经历知识的形成过程，增加经验基础，增强学生学习的成功感，激发学生学习数学的兴趣. 【重点】

：通过生活和数学中的丰富实例，理解存在量词的意义. 【难点】

：特称命题的真假的判定以及根据命题的真假求参数的值.

【复习回顾

巩固旧知】

我们学校为了迎接10月28号的秋季田径运动会,正在排练由1000名学生参加的开幕式团体操表演.这1000名学生符合下列条件：

（1）所有的学生都来自高二年级。

（2）至少有30名学生来自高二三班。

（3）每一个学生都有固定表演路线。

文中“所有的”这一词语，可用其它的那些词语代替？

（任意一个；全部；一切；每一个等）

1

问题1：（填空）“所有”、“每一个”等词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做

全称

量词，用符号“



”表示，含有

全称

量词的命题，叫做

全称

命题.

问题2

怎样判定一个全称命题的真假？

要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0

，使得p(x0)不成立即可．

（全称量词和存在量词以及我们学习的全称命题和特称命题是分不开的，所以在学习存在量词之前，回顾全称量词相关内容对于学习本节内容是相当重要的。）

【问题引入

新课新知】

下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? (1)2x+1=3。

(2)x能被2和3整除。

(3)存在一个x∈R,使2x+1=3。

(4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除。

关系: (3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句;

(4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句. （量词解析，引入新课概念。）

【概念讲解

新课新知】

存在量词及表示:

2

定义：

短语“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”在逻辑中通常叫做存在量词。表示：用符号“∃”表示

特称命题及表示：

定义：含有存在量词的命题,叫做特称命题。表示：特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M,p(x). 读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”.

【例题展示

巩固新知】

例1:下列命题是不是特称命题

（1）有的平行四边形是菱形。

（2）有一个素数不是奇数。

（判断方法：含有全称量词的为全称命题，含有存在量词的为存在命题，不构成陈述句的不是命题。）

习题1 下列语句是不是全称或特称命题:

（1）有一个实数a,a不能取对数。

（2）所有不等式的解集A,都是A⊆R。

（3）三角函数都是周期函数吗? （4）有的向量方向不定。

解：（1）（4）是特称命题；（2）是全称命题；（3）不是命题。

（综合判断，有助于区分）

例2：判断特称命题的真假

（1）有一个实数x，使x2+2x+3=0。

（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线。

3

（3）有些整数只有两个正因数。

2（4）存在实数x，使∃x2x≤0。

略解：假；假；真；真。

（方法小结：要判断特称命题“∃x∈M,p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可。

如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个特称命题是假命题.）

习题2

判断下列命题的真假: （1）存在一个函数,既是偶函数又是奇函数。

（2）xR,xx。

（3）存在一个实数,使等式x2+

x+8=0成立。

（4）存在整数x能被3和5都整除。

（5）至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数。

略解：真；真；假；真；真

【综合应用

走近高考】

（根据命题的真假

求参数的取值范围）

2例3

已知p：存在x0∈R，mx0＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0.2若p且非q为真命题，求实数m的取值范围．

解：依题意，因为p且非q为真命题，

所以p为真命题，q为假命题

当p是真命题时，有m<0；

4

当q是真命题时，有－2

m<0，由m≥2或m≤－2，

可得m≤－2.

所以m的取值范围为(－∞，－2]．

（小结：根据命题的真假求参数的取值范围的步骤）

(1)根据复合命题的真假判断命题p，q的真假性；

(2)求出当命题p，q为真（假）命题时所含参数的取值范围

(3)根据命题p，q的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．

习题3 若本例将条件“p且非q为真命题”变为“p或q为假命题”，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．

解：依题意知p，q均为假命题，

当p是假命题时，则mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；

当q是真命题时，则Δ＝m2－4<0，－2

【课堂小结】

你今天学到了什么？

（存在量词的意义以及特称命题的判断真假；综合性题型的解题）

【作业布置】

5 －2或m≥2，

}

1、（课本P26习题1.4A组

T1、T2）（做在书本上）

2. 指出下列命题中的量词,并判断真假. （1）空间中所有的四边形都共面；

（2）有些一元二次方程无实数解；

（3）任意两个奇函数的和在公共定义域上都是奇函数；

（4）有的函数是非奇非偶函数；

（5）每一个六棱锥都有6个顶点，12条棱；

3．判断下列全称命题的真假，其中真命题为（B）

2xR,x11

A．所有奇数都是质数

B．C．对每个无理数x，则x2也是无理数

D．每个函数都有反函数

4．将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（

A

）

2222x,yRx,yRxy2xyxy2xy

A.，都有

B.，都有x0,y0，C．都有x2y22xy

x0,y0，

D．都有x2y22xy

5．判断下列命题的真假，其中为真命题的是（

D ）

22xR,x10xR,x10

A．

B．C．xR,sinxtanx

D．xR,sinxtanx

【板书设计】

课题：存在量词

1、存在量词

例3：

2、特称命题

3、特称命题的真假

4、求参数

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