3.4 生活中的优化问题举例板书设计及意图

§1.4生活中的优化问题举例（第1课时）

叙永一中数学组

王健

一、教学目标：

知识与能力：体会导数在解决实际问题中的作用，能解决利润最大、用料最省、效率最高等优化问题；形成求解优化问题的思路和方法。

过程与方法：通过逐步形成用导数知识分析问题和解决问题，进一步培养学生发散思维能力；提高将实际问题转化为数学问题的能力。

情感态度与价值观：培养学生用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题地积极态度。

二、教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题。

三、教学难点：理解导数在解决实际问题时的作用，并利用其解决生活中的一些优化问题。

四、教学方法：启发式，讨论式，讲练结合式

五、教学准备：多媒体课件

六、教学过程：

创设情景：

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．

新课讲授：

导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：

（1）与几何有关的最值问题；

（2）与利润及其成本有关的最值问题；

（3）效率最值问题。

1.解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．

2.利用导数解决优化问题的基本思路：

1

优化问题

建立数学模型

用函数表示的数学问题

解决数学模型

优化问题的答案

典例分析：

作答

用导数解决数学问题

探究点一

与几何有关的最值问题

例1．海报版面尺寸的设计

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？

128解：设版心的高为x dm，则版心的宽为

dm，此时四周空白面积为：

x

S(x)(x4)(1285122)1282x8,x0

xx512求导数，得S′(x)＝2－2. x512令S′(x)＝2－2＝0，解得x＝16(x＝－16舍去)．

x128128于是宽为＝＝8. x16当x∈(0,16)时，S′(x)<0；当x∈(16，＋∞)时，S′(x)>0. 因此，x＝16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点．

所以，当版心高为16 dm，宽为8 dm时，能使四周空白面积最小．

引申思考：在本题解法中，“是函数的极小值点，也是最小值点。”为什么？

在实际问题中，一个函数在某个区间上若只有一个极值，则该极值即为这个区间上的最值。（常用于开区间或者无穷区间最值的求解）

一题多解：对于本题的最值你是否还有别的解法？

反思

求最大（最小）值应用题的一般方法：

⑴

分析问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式；

⑵

确定函数的定义域，并求出极值点；[来源:学.科.网]

⑶

比较各极值与定义域端点函数的大小，

结合实际，确定最值或最值点．

跟踪训练1

在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折

2

起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？[来源:学科网]

解：设箱底边长为xcm，则箱高h60x，

26060x2x3箱子容积V(x)xh(0＜x＜60)．[来源:学&科&网Z&X&X&K]

2260V'(x)60x323x令V'(x)60xx20,

22解得

x0

(不合题意，舍去)

x40,并求得

V(40)16000.[来源:学|科|网Z|X|X|K]由题意知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值．

答：当x＝40 cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3．[来源:Zxxk.Com]

探究点二

与利润及其成本有关的最值问题

例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？

（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 0.8r2分，其中

r

是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利

0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为

6cm 问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是

4r30.r82

yfr0.23r30.8r23r,0[来源:Zxxk.Com]6

2令fr0.8(r2r)0

解得

r2（r0舍去）

当r0,2时，fr0；当r2,6时，fr0．

当半径r2时，fr0它表示fr单调递增，即半径越大，利润越高；

当半径r2时，fr0

它表示fr单调递减，即半径越大，利润越低．

（1）

半径为2cm

时，利润最小，这时f20，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子

3

的成本，此时利润是负值．

（2）

半径为6cm时，利润最大．

换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？

有图像知：当r3时，f30，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当r3时，利润才为正值．

当r0,2时，fr0，fr为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm

时，利润最小．

反思

解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有

(1)利润＝收入－成本；

(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．[来源

跟踪训练2

P37，习题1.4

A组，6 探究点三

效率最值问题

例3．磁盘的最大存储量问题

【背景知识】计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。

为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。

问题：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域．

（1）

是不是r越小，磁盘的存储量越大？

（2）

r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？

解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。

设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于m，且最外面的磁道Rr。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存m2r储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达。所以，磁盘总存储量

n不存储任何信息，故磁道数最多可达

4

f(r)Rr2r2r(Rr)

×mnmn（1）

它是一个关于r的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大．

（2）

为求f(r)的最大值，计算f(r)0．

f(r)2R2r

mn令f(r)0，解得rR

2当rRR时，f(r)0；当r时，f(r)0．

22R2R2因此r时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为

2mn4思考：如果每条磁道存储的信息与磁道的长度成正比，那么如何计算磁道的存储量？此时，是不是r越小，磁盘的存储量越大？

课堂小结：

1．利用导数解决优化问题的基本思路：

建立数学模型

优化问题

用函数表示的数学问题

解决数学模型

优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

2．解决优化问题的方法：通过分析问题中各个变量之间的关系，建立与其相应的数学模型，得到函数关系式，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。

作业布置：课本P37，习题1.4

A组，5；B组，1，2 板书设计

1.4生活中的优化问题举例

1.利用导数解决优化问题的基本思路：

例题分析：

2.解决优化问题的方法：

练习：

教学反思：

5