信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆优质公开课教案

利用几何画板探究椭圆及其标准方程

——四川省都江堰中学

吴琴

一、教学目标：

知识与技能：

理解椭圆的定义；掌握椭圆的两类标准方程及其推导；会根据椭圆的标准方程求焦点坐标，会根据条件求椭圆的标准方程. 过程与方法：

通过对椭圆概念的引入与椭圆标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强用坐标法解决几何问题的能力。

情感态度与价值观：

通过具体的情境感知研究椭圆概念和标准方程的必要性和实际意义；体会数学的对称美、简洁美，培养学生的审美情趣，形成学习数学知识的积极态度.

二、教学重点与难点

重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．

难点：椭圆定义中常数加以限制的原因，椭圆标准方程的推导。

三、教学过程：

探究(一)椭圆的概念

问题1：圆的定义是什么？

问题2：如果我们将圆定义中的一个定点改变成两个定点，“动点到定点距离为定值”改变成“动点到两定点的距离之和为定值”。那么，将会形成什么样的图形呢？

数学实验：

取一条一定长的细绳，把它的两端固定在板上的F1和F2两点(如图)，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，在板上慢慢移动看看画出的轨迹是什么曲线？

思考1：画图时，动点M到两个定点F1,F2的距离之和符合什么几何条件？

思考2：画图时，绳子长度与两定点距离（即|F1F2 |）有怎样的关系？

椭圆的定义

把_____与两个定点F1,F2的距离之_____等于_____（大于|F1F2|）的点的轨迹叫作_____，定点F1,F2叫做_____，两焦点间的距离|F1F2|叫做_____

思考：当|MF1|＋|MF2|不大于|F1F2|时，轨迹又是什么呢? 小结：在平面上到两个定点F1， F2的距离之和等于定值的点的轨迹为：

当∣MF1∣+∣MF2∣＞∣F1F2∣

，轨迹为：____________

当∣MF1∣+∣MF2∣＝∣F1F2∣，轨迹为：____________

当∣MF1∣+∣MF2∣＜∣F1F2∣，轨迹为：____________

探究(二)椭圆的标准方程

思考1：求曲线方程的一般步骤是什么？

思考2：设M（x，y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1、F2的距离的和为2a，如何建系、列式？

22思考3：你能从右图中找出a,c,ac表示的线段吗？

我们推导出焦点在X轴上的椭圆的标准方程为：

____________

思考4：焦点在Y轴上椭圆的标准方程？.

小结：同学们完成下表

椭圆的定义

图 形

标准方程

焦点坐标

a,b,c的关系

焦点位置的判断

思考5：上述两种标准方程有什么共同点和不同点呢？

例题与练习

例1、填空：

已知椭圆的方程为：x225y2161

，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______；若CD为过左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为________

练习1：判断下列方程表示的轨迹是否为椭圆，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？并写出焦点坐标。

(3)m2m211(m0)

例2.求适合下列条件的椭圆标准方程：

（1）a=4，b=1，焦点在x轴上；

(,)（2）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(-2，0)，(2，0)，并且经过 . 2253(1)x264y21001(2)32x240y23200x2y2

小结：确定椭圆标准方程的一般步骤是什么？

练习2：求适合下列条件的椭圆标准方程：

（1）a=4，c=1，焦点在y轴上；

（2）椭圆的焦距为10，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26.

四、课堂小结：

1．椭圆的定义，应注意什么问题？

2．求椭圆的标准方程，应注意什么问题

五、课后思考：

如果点M(x,y)在运动过程,总满足关系式:x2(y3)2的轨迹是什么曲线?写出它的方程. 六、课堂练习

x2(y3)210,点M1、已知椭圆方程为x223y2321，则这个椭圆的焦距为（ ）.

A.6 B.3 C.35 D.65

x22、已知椭圆25y2161上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为（ ）.

A.2 B.3 C.5 D.7

3、求经过点（2，-3）且与椭圆9x24y236有共同焦点的椭圆标准方程。

4、.已知△ABC的一边长BC6，周长为16，求顶点A的轨迹方程.