2.1.4 平面与平面之间的位置关系优质课教案内容

人教A版

必修2

第二章

点、直线、平面之间的位置关系

2.1.4 空间中平面与平面之间的位置关系

自主导学

两个平面的位置关系

位置关系

平面α与

平面β平行

平面α与

平面β相交

图形表示

符号表示

公共点

没有

公共点

有一条

公共直线

小试牛刀

1．直线m∥平面α，则m与α的公共点有(

) A．0个

B．1个

C．2个

D．无数个

答案：A

2．直线l与平面α有两个公共点，则(

) A．l⊄α

C．l与α相交

B．l∥α

D．l⊂α

答案：D 3．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是________．

答案：平行

典例解析

探究1 直线与平面的位置关系

[典例1]

下列说法正确的个数为(

) ①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；

②若直线a在平面α外，则a∥α；

③若a∥b，b⊂α，则a∥α；

④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线．

A．1

B．2

C．3

D．0

[解析]

∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α，∴①是错误的；

∵直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴a和α不一定平行，∴②是错误的；

∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α.∴③是错误的．

∵a∥b，b⊂α，∴a⊂α或a∥α，∴a可以与平面α内无数条直线平行，∴④是正确的．

[答案]

A

(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．

(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内；要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点；要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点．

1．下列命题中的真命题是(

) A．若点A∈α，点B∉α，则直线AB与平面α相交

B．若a⊂α，b⊄α，则a与b必异面

C．若点A∉α，点B∉α，则直线AB∥平面α

D．若a∥α，b⊂α，则a∥b

解析：由直线和平面平行、相交的位置关系，可知B、C、D不正确，A是正确的．

答案：A

探究2 平面与平面位置关系的判定与应用

[典例2]

如果两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系是(

) A．平行

C．平行或相交

B．相交

D．不确定

[答案]

C

两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行．这样我们可以得出两个平面的位置关系：①平行——没有公共点；②相交——有且只有一条公共直线；若平面α与β平行，记作α∥β，若平面α与β相交，且交线为l，记作α∩β＝l.

2．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面．与其中一个侧面相交的面共有________个．

解析：六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面．六棱柱共有8个面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均为相交的关系．

答案：4

6 3.如图所示，平面ABC与三棱柱ABC-A1B1C1的其他面之间有什么位置关系？

解析：∵平面ABC与平面A1B1C1无公共点，∴平面ABC与平面A1B1C1平行．

∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，

∴平面ABC与平面ABB1A1相交．同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交．

探究三

线面、面面交线问题

[典例3]

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别为A1B1，

B1C1的中点．求证：平面ACC1A1与平面BEF相交．

[证明]

∵在矩形AA1B1B中，E为A1B1的中点，

∴AA1与BE不平行，则AA1，BE的延长线相交于一点，设此点为G，

∴G∈AA1，G∈BE. 又AA1⊂平面ACC1A1，BE⊂平面BEF，

∴G∈平面ACC1A1，G∈平面BEF，

∴平面ACC1A1与平面BEF相交．

判断或证明平面与平面的位置关系时主要考虑平面与平面有无公共点，如果没有公共点，则两平面平行；如果可以找到一个公共点，则两平面相交．

4．如图所示，G是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点．试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．

(1)过点G及AC；

(2)过三点E，F，D1.

解析：(1)画法：连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．

(2)画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．

当堂达标

1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(

) A．一条直线不相交

B．两条直线不相交

C．无数条直线不相交

D．任意一条直线不相交

解析：直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点．

答案：D

2．一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零，则这两个平面(

) A．平行

B．相交

C．垂直相交

D．平行或相交

答案：D

3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中判断下列位置关系：

(1)AD1所在直线与平面BCC1的位置关系是________；

(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．

解析：(1)AD1所在的直线与平面BCC1没有公共点，所以平行；(2)平面A1BC1与平面ABCD有公共点B，故相交．

答案：(1)平行

Thanks!

(2)相交

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