信息技术应用 图形技术与函数性质优质教案设计

教学设计

图形技术与函数单调性

【教学内容解析】

1．导数这个概念是高等数学的基本概念，又是中学阶段数学学习的一个主干知识，它是进一步学习数学和其他自然科学的基础，更是研究函数相关性质的重要工具之一。

2．单调性作为函数的主要性质之一，主要用来刻画图象的变化趋势，在必修1的学习中定义了单调性，并且在学习幂指对及三角函数时，能够借助于函数图象特征和单调性的定义来研究函数的单调性. 3．这节课我们是在学***均变化率、瞬时变化率、导数的定义和几何意义之后，试图通过导数来研究函数的单调性，为研究单调性提供了更一般的方法，是后面学习函数的极值、最值的知识铺垫、能力基础和方法指导。起到了承上启下、完善建构、拓展提升的作用。

4．导数与函数单调性的关系的探索和发现；利用导数研究函数的单调性. 【教学目标设置】

1. 能探索并应用函数的单调性与导数的关系

2. 掌握利用导数图像判断函数单调性的方法

3. 能由导数信息绘制函数大致图象

【学生学情分析】

1. 已有的知识储备：（1）本节课的授课对象是定州中学高二年级文科班的学生，他们在经历了高一一学年的数学学习后，已经基本了解高中数学的基本思想和研究方法，具备了一定的发现问题、探究问题、分析问题和解决问题的能力。

（2）学生已经掌握了基本初等函数的图象特征和基本性质，而且已经掌握了导数的定义、导数的计算以及其几何意义，已经具备了用导数探究函数单调性的知识储备。

存在问题：将导数与函数单调性联系起来，学生的抽象概括能力还不够；

解决方法：需引导学生通过不断探究，数学联想，逐步得出导数研究函数单调性的结论。

教学重点：利用导数判断函数的单调性。

教学难点：导数如何影响函数的增减快慢

突破策略：课堂中引导学生通过探究、验证、回归逐步得出导数研究函数单调性

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的结论，再结合例题研究导数图像与函数图像的关系。

【教学策略分析】

1. 精心设计教学内容

站在系统的高度组织教学内容，从生活情境入手，精心设问，帮助学生联想、抽象出数学问题，整个教学过程，将经历设问——探究——归纳——应用——反思，五个方面，层层递进。

2. 充分开展学生活动

站在学生的角度，根据学生的思维特点和认知基础，给学生提供课堂参与机会，让学生在动手操作和尝试探索中验证猜想，掌握方法，体会思想，形成技能. 3. 渗透提炼思想方法

通过典型例题及其变式的教学，由浅入深，逐层递进，给学生提供比较、分析、归纳、综合的机会，帮助学生在解题和反思中领悟数学思想方法在数学学习中的作用. 【教学过程设计】

一、创设情境

生活实例中导入

1 情境：前一阶段我们已经学习了导数的定义及其几何意义，导数有什么实际应用呢，今天我们一起来研究。

问题1：先请同学们观看下面一段视频，你有什么发现？

问题2：同学们看了这个视频后有没有产生什么联想？能不能把这个动画与数学联系起来，看出其中的数学问题？

问题3：我们建立数学模型，来模拟运动员的运动过程

（几何画板演示动画）

【师生活动】

（1）视频引入，直观感知；

（2）几何画板演示，猜想结论. 抽象出数学问题：

曲线

切线斜率k>0

上升

函数yf(x)

f(x)0

？

递增

2

感知可以通过函数图象上每一点处的切线的斜率，即函数f(x)在该点处的导数来研究函数的单调性. 2 猜想：导数与函数的单调性有什么联系呢？

（再次播放函数图象上每一点处的切线斜率随函数单调性的变化情况）

从图象上，我们发现，单调递增区间上，每一点处的切线倾斜角均为锐角，斜率大于0，曲线呈上升趋势，函数单调递增；在单调递减区间上，每一点处的斜线倾斜角为钝角，斜率小于0，曲线呈下降趋势，函数单调递减．

于是，可以猜想结论: 对于函数yf(x)，

如果在某区间上f(x)0，那么f(x)为该区间上的增函数；

如果在某区间上f(x)0，那么f(x)为该区间上的减函数．

【设计意图】本课的难点是引导学生发现导数与函数单调性之间的联系，而这两个概念都是非常抽象的，学生很难直接感知，所以这里利用生活中的常见问题汽车灯光的指向与上下坡之间的联系，引导学生发现道路可以抽象成函数的图象，灯光可以抽象为切线，这样问题就转化为切线斜率正负与函数增减之间的联系，从而轻松高效引入课题，成功激发学生的求知欲，也体现了“生活中处处有数学”的教学理念. 二、小组合作探究

问题4：我们要善于用数学的眼光看世界，刚才我们同学将实际问题抽象为一个数学问题，并且还建立了数学模型，数学语言来描述了这个问题，提出了一个猜想。这个猜想对不对呢？我们如何探究呢？

给出方案：举出4个常见的基本初等函数，探究导数与函数单调性之间的联系，验证前面猜想的结论.

【师生活动】

（1）独立验证，合作释疑，展示成果；

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（2）教师从学生中选择具有代表性的小组进行汇报展示. 【设计意图】前面已经猜想出结论，但是该结论是否正确，还有待检验，学生首先想到的就是验证已经学过的常见函数，从而深化对所得结论的理解. 三、知识建构

生成演练中应用

对于函数yf(x)，

如果在某区间上f(x)0，那么f(x)为该区间上的增函数；

如果在某区间上f(x)0，那么f(x)为该区间上的减函数．

注意：（1）如果在某区间上f(x)0恒成立，则f(x)为该区间上的常函数．

（2）“某区间”指的是定义域的子集，研究函数单调性问题“定义域优先”．

例1

【教学预设】对于学生熟悉的函数图像，学生可能首先想到的是原函数图象，导函数图像应该看正负。让学生在合作学习中找到解题方法

解析：（3）正确。导函数在（-3,0）上是小于0的

（1）

错误。导函数有正有负。

（2）

错误。导函数先正后负，原函数先增后减。

（4）错误。导函数先正后负，同理可得

变式：函数导函数为

在定义域

，则不等式

内可导，其图象如图，记

的的解集为_____________

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，

总结：导数图像与原函数图像的关系：

①确定是哪个函数图像

②原函数图像看增减导函数图像看正负

③在定义域内解不等式f(x)0或f(x)0；

④多个单调区间是不能并．

【设计意图】

（1）例题1，数形结合解决了函数的单调性问题，加强了对结论的应用和理解；

（2）强调了利用导数图像研究原函数图像单调性的方法；

（3）例题1的解决说明，判定函数单调性增加了一种新的方法——导数法. 例2 设右图所示,则是函数的导函数，

的图象如

的图象最有可能的是( )

（A）

(B)

(C)

(D) 问题

能否根据导函数的图像，画出这个函数的大致图象呢？

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【师生活动】先根据函数的单调性画出原函数的可能大致图象，同时与导函数图象进行比较，加深巩固导函数图象的正负与原函数增减之间的关系. 【设计意图】

（1）从图象上感知原函数与导函数的关系，加深对结论的认识；

（2）例题2体现了导数法研究函数单调性的优越性：

（3）例题变式引出函数图像增减的陡峭与平缓

合作探究3

导数与函数图像的陡峭程度

例3如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入

下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水

的高度h与时间t的函数关系图象.

【教学预设】学生看到注水的快与慢，首先想到的是利用图象直观解决，而瞬时变化率就是导数的物理意义。

【师生互动】学生通过小组合作探讨增长快慢的问题，从实际生活出发会更加清晰明确.同时让学生对原函数图象与导函数图象进行比较，深化对结论的理解. 提出问题：如果是满的容器往外抽水呢？

针对训练

练习1、已知函数的导函数的图像如右图，那么

的图像可能是（ ）

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【师生互动】教师提出问题，学生独立完成，学生提出疑问，其他同学进行答疑，师生共同完成

解析：因为y=f′(x)为减函数，y=g′(x)为增函数，所以y=f（x）的图像增的越来越缓慢，y=g（x）的函数图像增长的越来越陡峭，排除A,C;又因为又因为y=f′(x)与y=g′(x)

的图像交于x0处，所以y=f(x)与y=g(x)的图像在x0处的切线平行排除B。

故答案选D。

四、课堂小结

回顾整理中提炼

通过这节课的研究，你明确了什么？

你的收获与感受是什么？

【设计意图】培养学生学习——总结——学习——反思的良好习惯，同时通过自我的评价来获得成功的快乐，提高学生学习的自信心. 五、巩固训练中拓展

必做题：学案课后巩固．

选做题：如果f(x)在某区间上单调递增，那么在该区间上必有f(x)>0吗？

【设计意图】知识巩固，反馈信息，同时注意个体差异，因材施教，必做题为基础训练，选做题既是对本节课的提升训练，也为下节课做好铺垫. 六、教学设计说明

导数这个概念是高等数学的基本概念，又是中学阶段数学学习的一个主干知识，它是进一步学习数学和其他自然科学的基础，更是研究函数相关性质的重要工具之一．单调性作为函数的主要性质之一，主要用来刻画图象的变化趋势，在必修1的学习中定义了单调性，并且在学习幂指对及三角函数时,能够借助于函数图象特征和单调性的定义来研究函数的单调性. 那为什么还要用导数研究函数的单调性？能不能用导数研究函数的单调性？怎样用导数研究函数的单调性？循着这样的思路，整个教学过程，从创设情境—实例验证—揭示本质—强化应用—回顾反思，五个方面入手，层层递进，螺旋上升．

关注生活

自然导入

本课的难点是引导学生发现导数与函数单调性之间的联系，而这两个概念都

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是非常抽象的，学生很难直接感知，所以在引入阶段，利用运动员跳水走势与函数图像增减的联系，第一次抽象：引导学生发现跳水走势可以抽象成函数的图象，导数可以用切线斜率表示，这样问题就转化为切线斜率正负与曲线上升下降的联系；在几何画板中，第二次抽象：将曲线看做是函数y=f(x)上的一段图象，那么切线斜率即为函数在该点处的导数，顺势猜想结论，感知导数正负与函数单调性之间的联系，从而轻松高效引入课题，成功激发学生的求知欲，也体现了“生活中处处有数学”的教学理念. 关注探究

合作生成

前面已经猜想出结论，但是该结论是否正确，还有待检验，学生首先想到的就是验证已经学过的常见函数，从而深化对所得结论的理解.

再从“形”回到

“数”，进一步引导学生经历从特殊到一般的过程，抓住导数和单调性的定义之间的联系来提炼一般性的结论，由学生自主探究、分组展示，互相点评，变灌注知识为学生主动获取知识，从而使之成为课堂教学活动的主体．

关注应用

数形结合

在典例演练，强化应用的过程中，经历由“形”到“数”的过程，并对导函数图象与原函数图象进行对比、深化理解，突显了利用导数研究函数单调性的优越性；提醒学生可以画出导函数图象辅助解题，数形结合思想，贯穿始终，并且突显了利用导数研究函数单调性的一般性．三道例题逐层推进，体现了导数法在研究函数单调性中的一般性和有效性，由形到数，由数到形，数形结合贯穿始终．

教学反思：生活中抽象

合作中探究

数学中回归

1.数学虽然来源于生活，但又高于生活，不能让教学情境喧宾夺主，更不能为情境而情境，因此在创设情境时应该把立足点放在数学上，应该根据所教学的内容选择与之最贴近的生活情境。

2.在本节课的教学中，无论是导数与函数单调性关系猜想的发现，还是对所发现猜想的验证与证明过程；无论是新知识的探索与发现过程，还是新知识的巩固与应用过程，都可见到探究活动的展开。但是，在目前的数学教学中，探究教学开展的情况还不尽人意，也明知道要启发学生进行探究，但在具体教学中要么是因为启而不发而不得不“灌”，要么是教师精心编制一系列的问题串让学生去“钻”或挖掘一个又一个的陷阱让学生去“跳”，目的只有一个，那就是借学生之口说

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出或逼学生说出教师想说的话。这样的提问根本不能叫启发，充其量只能说是“诱发”、“逼发”。真正的启发应该深入到学生的思维层面，教师应该把启发学生思维作为目的而不是把获得结论当成目的。教师最需要关注的是学生“在不在想？”“在想什么？”“是怎么想的？”，“为什么这么想？”等问题，而不要太在乎你所要获得的那个结果，结果应该是学生在教师正确启发下自然而然产生的。而现在有许多教师热衷于按照自己的想象去筑渠、固渠，而不善于根据地形地势（知识的内在特点）和水的流势（学生的思维特点）因势利导地开渠引水，更不愿意去蓄水（创设问题情境）、引水，结果要么是渠已成而无水流，要么是有水流但渠未成，最后不得不徒劳地去“堵”、去“塞”。涂荣豹先生曾经指出：“启发探究最重要的就是要在教学中尽可能多采用一些元认知提问，少采用一些认知性的提问，即要通过提高问题的开放性强来激发学生探究的积极性。”如本节课中：“看到这段视频动画同学们有什么发现？”“同学们看了这个视频后有没有产生什么联想？”“能不能把这个动画与数学联系起来，看出其中的数学问题？”“有哪位同学这个过程用数学语言来描述一下”等多处由于有意识地采用元认知提问而收到了很好的教学效果。

三、善用回归，让“枯燥”的数学不再枯燥

长期以来，许多人对数学一直存在偏见，认为数学是枯燥的、难学的，这样一种错误的数学观对数学教学是很有害的，它像腐蚀剂一样不断侵蚀着学生学习数学的积极性和自信心。因此，数学课堂教学中首要的也是最重要的事应该是充分激发学生学习数学的兴趣，好学不如乐学，教师要采取各种有效措施让抽象、“枯燥”的数学变得生动有趣，只有学生对数学产生了兴趣，学生才能乐学、好学、才能学好。而要激发学生学习数学的兴趣，关键是教师能否准确确定学生的思维之源，如学生思维的兴奋点、生长点、发散点，……，问渠那得清如许，为有源头活水来，只有找准学生的思维之源，教师的启发之渠才会有活水源源不断地流过。这正如美国著名教育家D.P.奥苏伯尔在其名著《教育心理学——认知观点》扉页上的名言所指出的那样:“假如让我把全部教育心理学仅仅归结为一条原理的话，那么，我将一言以蔽之曰：影响学习的唯一重要的因素，就是学习者已经知道了什么。要探明这一点，并应据此进行教学。”因此，在教学中教师要善于运用回归策略，找准学生的思维起点，才能顺利地将学生的思维引向所要达到的教学目标。即“只有返回到思想产生的根源，这些思想才可能得到真正的

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理解。”i在本课中执教者多处运用了回归这一教学策略，比如在课堂情境创设阶段采用回归生活的策略不仅极大地激发了学生的学习兴趣，而且为后面的探究和数学抽象奠定了坚实的基础；又比如在猜想发现过程中采用的由“数”到“形”的回归，在猜想证明过程中采用的回归定义策略和由“形”向“数”的教学策略，则不仅为学生证明思路的探索指明了方向，而且有利于学生科学思维能力的培养。再比如，在定理巩固阶段采用的回归基本原型策略步步为营让学生将新知识的学习牢牢建立在学生已有知识的基础上，不仅大大地降低了学生学习的难度，而且充分地激发了学生学习数学的兴趣、激励了学生学好数学的自信心。ii

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