3.3.4 两条平行直线间的距离10分钟试讲教案

江门一中2021届高一数学必修2导学案(33) 班别 姓名 学号

点到线的距离、两平行直线间的距离

一、学习目标

掌握点到直线距离公式并会求两条平行线间的距离．

二、课前导学

1、知识点回顾

（1）求两直线的交点坐标的方法：解方程组，以方程组的解为______的点就是交点．

（2）如何利用方程判断两直线的位置关系？

（3）两点间的距离公式：设A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面直角坐标系中的两个点，则|AB|＝_______________.

2.探索新知

问题1：求点P0(1,2)

到直线l:3x2的距离。

（课本P107例6）问题2：求原点O到直线l:3x2y260的距离。

问题3：已知点P的坐标为(x0,y0)，直线l:AxByC0，如何求点P到直线l的距离呢？

1.

当B=0时，直线的方程为________________________________

l

y

p（x0,y0

）0)

x

o .

点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝

如P（2.3）到x=1的距离为______________ 2.当A=0时, 直线的方程为_________________________________.

y p

.

o x 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝

3.当A,B均不为0时，如何求P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离，参考课本P107,请写出你的思路。

小结

点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝

(4)点到特殊直线的距离公式

①点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|；

②点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|；

③点P(x0，y0)在直线上时，d＝0；

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④P(x0，y0)到x＝a的距离d＝|a－x0|；

⑤P(x0，y0)到y＝b的距离d＝|b－y0|.

例1已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，求三角形ABC的面积．

（课本P107例6）

问题4：已知直线l1：2x7y80，l2：6x21y10，l1与l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离。

（课本P108例7）

问题5：已知l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，如何求出l1与l2的距离公式？

小结：

（1）若两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，则l1，l2间的距离为d＝

. (2)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．

①两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；

②两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.

练习：书本P109 练习

三、合作探究

1、（1）若点(4，a)到直线4x－3y＝0的距离不大于2，则a的取值范围是

由题意26≤2，解得2≤a≤. 342＋（－3）2|4×4－3a|（2）已知直线l1：3x－4y＋a＝0与直线l2：6x－8y＝0间的距离d>3，求实数a的取值范围．

(1)法一

若在直线l1上任取一点A(2，1)，

|3×2＋4×1－15|则点A到直线l2的距离，即是所求的平行线间的距离．所以d＝＝1.

32＋42法二

设原点到直线l1，l2的距离分别为|OF|、|OE|，结合图形(图略)可知，|OE|－|OF|即为所求．

所以|OE|－|OF|＝|－15||－10|－＝1.

32＋4232＋42|C1－C2|A2＋B2，得d＝法三

利用公式d＝|（－10）－（－15）|＝1.

223＋4|a||a|＝，

32＋（－4）25(2)直线l2的方程可以化为3x－4y＝0，则由平行线之间的距离公式可得d＝|a|因为d>3，所以>3，所以|a|>15.所以a>15或a<－15. 5

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2.两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d，求：

(1)d的变化范围；

(2)当d取最大值时，两条直线的方程．

解：(1)法一

①当两条直线的斜率不存在时，两条直线分别为x＝6和x＝－3时，它们之间的距离为9.

②当两条直线的斜率都存在时，设这两条直线方程为l1：y－2＝k(x－6)，l2：y＋1＝k(x＋3)，

|－3k＋1－6k＋2|3|3k－1|即l1：kx－y－6k＋2＝0，l2：kx－y＋3k－1＝0，所以d＝＝2.

k2＋（－1）2k＋1即(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0. 4当d＝9时，k＝－.

3当d≠9时，因为k∈R，d>0，所以Δ＝(－54)2－4(81－d2)(9－d2)≥0，得0

综合①②可知，d的变化范围为(0，310 ]

3.

求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且和点A(－3，1)的距离为5的直线l的方程．

x－3y－4＝0，2由解得2即直线l过点B2，－3. 4x＋3y－6＝0，y＝－，3①当l与x轴垂直时，方程为x＝2，点A(－3，1)到l的距离d＝|－3－2|＝5，满足题意. ②当l与x轴不垂直时，设斜率为k，

2则l的方程为y＋＝k(x－2)，

32即kx－y－2k－＝0，(5分)

3x＝2，由点A到l的距离为5，得－3k－1－2k－23k2＋（－1）24482＝5，解得k＝所以l的方程为x－y－－＝0，即33334x－3y－10＝0.综上，所求直线方程为x＝2或4x－3y－10＝0.

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