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章末整合提升

专题一

线面平行与垂直的证明

(1)

线面平行的证明关键是找线线平行或面面平行，从而推出线面平行．

(2)

线面垂直的关键是找这条直线垂直于平面内的两条相交直线，从而推出线面垂直．

【例

1】

如图

2-1，在四棱锥

P-ABCD 中，平面

PAD ⊥平面

ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F 分别是

AP，AD 的中点．

求证：(1)直线

EF∥平面

PCD；

(2)平面

BEF⊥平面

PAD .

思维突破：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考察空间想象能力和推理论证能力．

证明：(1)在△PAD 中连接

PC，因为E，F 分别为

AP，AD的中点，所以

EF∥PD

又因为

EF

平面

PCD，PD⊂平面

PCD，

所以直线

EF∥平面

PCD. （2)

连接

DB，如图

2-2，因为

AB＝AD，∠BAD＝60°，

所以△ABD 为正三角形．

因为点

F 是

AD 的中点，所以

BF⊥AD 因为平面PAD ⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面

ABCD＝AD，

所以

BF⊥平面

PAD . 又因为

BF⊂平面

BEF，

所以平面

BEF⊥平面

PAD

【互动与探究】

1．如图2-3，在锥体

P-ABCD 中，ABCD 是边长为

1 的菱形，且∠DAB＝60°，PA＝PD＝2

，PB＝2，E，F 分别是BC，PC的中点．

证明：AD⊥平面

DEF

证明：取

AD 中点

G，连接

PG，BG，BD，如图

因

PA ＝PD，有

PG⊥AD 在△ABD 中，AB＝AD＝1，∠DAB＝60°，有△ABD 为等边三角形，因此

BG⊥AD 又

BG∩PG＝G，所以

AD⊥平面

PBG⇒AD⊥PB. 又

PB∥EF，得

AD⊥EF. 而

DE∥GB，得

AD ⊥DE. 又

FE∩DE＝E，所以

AD ⊥平面

DEF. 2．(2014 年广东揭阳一模)如图

2-4，已知

A，B，C 为不在同一直线上的三点，且

AA1∥BB1∥CC1，AA1＝BB1＝CC1. 1)

求证：平面

ABC∥平面

A1B1C1；

2)

若

AA1⊥平面

ABC，且

AC＝AA1＝4，BC＝3，AB＝5，求证：A1C 丄平面

AB1C1；

3)

在(2)的条件下，设点

P 为

CC1 上的动点，求当

PA ＋PB1取得最小值时

PC 的长．

(1)证明：∵AA1∥CC1，且

AA1＝CC1，

∴四边形

ACC1A1 是平行四边形．

∴AC∥A1C1.

∵AC平面

A1B1C1，A1C1⊂平面

A1B1C1，

∴AC∥平面A1B1C1. 同理可得BC∥平面A1B1C1. 又∵AC∩BC＝C，

∴平面ABC∥平面A1B1C1. (2)证明：∵AA1⊥平面ABC，AA1⊂平面ACC1A1，

∴平面ACC1A1⊥平面ABC. ∵AC＝4，BC＝3，AB＝5，∴AC2＋BC2＝AB2.∴BC⊥AC . ∵平面ACC1A1∩平面ABC＝AC,

∴BC⊥平面ACC1A1.∴BC⊥A1C. ∵BC∥B1C1，∴B1C1⊥A1C. 又∵AA1⊥AC，AC＝AA1，∴ACC1A1为正方形．

∴A1C⊥AC1. 又∵AC1∩B1C1＝C1，∴A1C丄平面AB1C1.

(3)解：将三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ACC1A1绕侧棱CC1旋转到

与侧面BCC1B1在同一平面内如图，连接AB1交CC1于点P，则由平面几何知识知，这时PA＋PB1取得最小值，

∵PC∥BB1，

AC·BB116PCAC∴BB＝AB，即PC＝AB＝7. 1

专题二

空间角

求空间角一般分三步：作、证、求，“作”的方法要熟练掌握，“证”过程步骤必不可少，“求”应将空间角放在三角形中求解．

【例2】

如图2-5，已知正三棱柱ABC

-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3 AE＝2 2，点E在侧棱AA1上，点F在侧棱BB1上，且

2，BF＝2. 1)

求证：CF⊥C1E；

2)

求二面角

E-CF-C1 的大小．

1)求证：CF⊥C1E；

(1)证明：由已知，可得CC1＝3 22＋2 22＝2 3. 2，CE＝C1F＝

EF2＝AB2＋(AE－BF)2，EF＝C1E＝22＋22＝6，

于是有EF2＋C1E2＝C1F2，CE2＋C1E2＝CC，

所以C1E⊥EF，C1E⊥CE. 又EF∩CE＝E，所以C1E⊥平面CEF. 由CF⊂平面CEF，故CF⊥C1E. (2)解：在△CEF中，

由(1)，可得EF＝CF＝6，CE＝2 3，

于是有EF2＋CF2＝CE2，所以CF⊥EF. 又由(1)知：CF ⊥C1E，且EF∩C1E＝E，所以CF ⊥平面C1EF.又C1F⊂平面C1EF，

故CF ⊥C1F.

于是∠EFC1即为二面角E­CF­C1的平面角．

由(1)知：△C1EF是等腰直角三角形，所以∠BFC1＝

45°，即所求二面角E­CF­C1的大小为45°

化空间为平面，然后转化为求解三角形．

【互动与探究】

3．如图2-6，在圆锥PO中，已知PO＝2，⊙O的直径AB＝2，点C在AB上，且∠CAB＝30°，点D为AC的中点．

(1)证明：AC⊥平面

POD；

(2)求直线

OC 和平面

PAC 所成角的正弦值．

(1)证明：因为

OA＝OC，D 是

AC 的中点，所以

AC⊥OD. 又

PO⊥底面⊙O，AC⊂底面⊙O，所以

AC⊥PO. 而

OD，PO 是平面

POD 内的两条相交直线，所以

AC⊥平面

POD. (2)解：由(1)知：AC⊥平面

POD.又

AC⊂平面

PAC ，

所以平面

POD⊥平面

PAC . 如图

，在平面

POD 中，过点

O 作

OH⊥PD 于点

H，则

OH⊥平面

PAC

连接

CH，则

CH 是

OC 在平面

PAC 上的射影．

所以∠OCH 是直线

OC 和平面

PAC 所成的角．

1在Rt△ODA中，OD＝OA·sin30°＝2. PO·OD＝2PO＋OD212×22＝3，

12＋4在Rt△POD中，OH＝2OH在Rt△OHC中，sin∠OCH＝OC＝3.

专题三

线线垂直与点到面的距离的综合

线线垂直关键找线面垂直或构造直角三角形，点到面的距离一般用等体积法求解．

【例

3】

如图

2-7，四棱锥

P-ABCD 中，PA ⊥底面

ABCD，AB⊥AD，点

E 在线段

AD 上，且

CE∥AB (1)

求证：CE⊥平面

PAD ；

(2)若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝2，∠CDA＝45°，求四

棱锥

P-ABCD 的体积

(1)

证明：因为

PA ⊥平面

ABCD，CE⊂平面

ABCD，所以PA ⊥CE. 因为

AB⊥AD，CE∥AB，所以

CE⊥AD. 又因为

PA ∩AD＝A，所以

CE⊥平面

PAD . (2)

解：由(1)可知：CE⊥AD，

在

Rt△ECD 中，DE＝CD·cos45°＝1，CE＝CD·sin45°＝1. 又因为

AB＝CE＝1，AB∥CE，

所以四边形

ABCE 为矩形．

所以S四边形ABCD＝S矩形ABCE＋S△ECD

115＝AB·AE＋2CE·DE＝1×2＋2×1×1＝2. 又PA⊥平面ABCD，PA＝1，

1155所以V四边形P-PA＝××1＝ABCD＝S四边形ABCD·3326.

(1)线线垂直⇒线面垂直．

(2)求体积要找准底面积和高．

【互动与探究】

3．如图

2-8，在四面体

P-ABC 中，PC⊥AB，PA ⊥BC，点D，E，F，G 分别是棱

AP，AC，BC，PB 的中点．

(1)

求证：DE∥平面

BCP；

(2)

求证：四边形

DEFG 为矩形；

(3)

是否存在点

Q，到四面体

P-ABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由．