1.2.2 充要条件精品学案

1.2.2

充要条件

张爱斌

学习目标

1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，弄清对条件的判断应该归结为对命题真假的判断.

知识点一

充要条件的概念

思考1

命题“若整数a是6的倍数，则整数a是2和3的倍数”中条件和结论有什么关系？它的逆命题成立吗？

答案

只要满足条件，必有结论成立，它的逆命题成立. 思考2

若设p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？

答案

因为p⇒q且q⇒p，所以p是q的充分条件也是必要条件；同理，q是p的充分条件，也是必要条件. 梳理

一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件. 知识点二

充要条件的判断

1.命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类

(1)充分必要条件(充要条件)，即p⇒q且q⇒p；

(2)充分不必要条件，即p⇒q且q⇏p；

(3)必要不充分条件，即p⇏q且q⇒p；

(4)既不充分也不必要条件，即p⇏q且q⇏p. 2.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件

若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件

若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件

若A＝B，则p，q互为充要条件

若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}.

类型一

充要条件的判断

例1

下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件) (1)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；

(2)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；

(3)p：m>0，q：x2＋x－m＝0有实根. 解

(1)因为四边形的对角线互相平分⇏四边形是矩形，

四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，

所以p是q的必要不充分条件. (2)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1，

x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，

所以p是q的充要条件. (3)因为m>0⇒方程x2＋x－m＝0的判别式Δ＝1＋4m>0，即方程有实根；

方程x2＋x－m＝0有实根，

即Δ＝1＋4m≥0⇏m>0. 所以p是q的充分不必要条件. 反思与感悟

充要条件的常用判断方法

(1)命题判断法

设“若p，则q”为原命题，那么：

①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；

②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；

③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；

④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件. (2)等价转化法

p是q的什么条件等价于綈q是綈p的什么条件. 跟踪训练1

(1)“x＞1”是“log1(x＋2)＜0”的(

) 2A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

答案

B D.既不充分也不必要条件

解析

由x＞1⇒x＋2＞3⇒log1(x＋2)＜0，log1(x＋2)＜0⇒x＋2＞1⇒x＞－1，故“x＞1”22是“log1(x＋2)＜0”成立的充分不必要条件.故选B. 2(2)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(

) A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案

C 解析

当x＝1，y＝－2时，x>y，但x>|y|不成立；

因为|y|≥y，所以若x>|y|，则x>y. 所以x>y是x>|y|的必要不充分条件. 类型二

充要条件的探求与证明

命题角度1

求充要条件

例2

求关于x的一元二次不等式ax2－ax＋1－a>0对于一切实数x都成立的充要条件. 4解

充分性：当0

5判别式Δ＝a2－4a(1－a)＝5a2－4a＝a(5a－4)<0，

则ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立. 而当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0化为1>0. 显然当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立. 必要性：因为ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立，

a>0，所以a＝0或

2Δ＝a－4a1－a<0，

4解得0≤a<. 54故0≤a<是不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立的充要条件. 5反思与感悟

探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件⇒结论”和“结论⇒条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件. 跟踪训练2

已知数列{an}的前n项和Sn＝(n＋1)2＋t(t为常数)，试问t＝－1是否为数列{an}是等差数列的充要条件？请说明理由.

解

是充要条件. 充分性：当t＝－1时，Sn＝(n＋1)2－1＝n2＋2n. a1＝S1＝3，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，

又a1＝3适合上式，

∴an＝2n＋1(n∈N*). 又∵an＋1－an＝2(常数)，

∴数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列. 故t＝－1是数列{an}为等差数列的充分条件. 必要性：∵{an}为等差数列，

则2a2＝a1＋a3，解得t＝－1，

故t＝－1是数列{an}为等差数列的必要条件. 综上，t＝－1是数列{an}为等差数列的充要条件. 命题角度2

充要条件的证明

例3

求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 证明

充分性：∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，

∴方程一定有两个不等实根，

c设两实根为x1，x2，则x1x2＝<0，

a∴方程的两根异号，

即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根. 必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，

c设两实根为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝<0，且Δ＝b2－4ac>0，

a即ac<0. 综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 反思与感悟

一般地，证明“p成立的充要条件为q”，在证充分性时，应以q为“已知条件”，p是要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时，则是以p为“已知条件”，q是要证明的“结论”，即p⇒q. 跟踪训练3

已知a，b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充分条件是a2－b2＝1，该条件是否为必要条件？试证明你的结论. 解

因为a2－b2＝1，

所以a4－b4－2b2＝(a2－b2)(a2＋b2)－2b2

＝(a2＋b2)－2b2

＝a2－b2＝1.

即a4－b4－2b2＝1成立的充分条件是a2－b2＝1. 另一方面，若a4－b4－2b2＝1，

即a4－(b4＋2b2＋1)＝0，

a4－(b2＋1)2＝0，

(a2－b2－1)(a2＋b2＋1)＝0. 又a2＋b2＋1≠0，所以a2－b2－1＝0，

即a2－b2＝1. 所以a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1成立的必要条件.

1.“x2>2 017”是“x2>2 016”的(

) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案

A 2.在△ABC中，“A>60°”是“sin A>A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案

B 解析

∵A＝120°，∴sin A＝故A>60°⇏sin A>sin A>3，

23，

23”的(

) 23⇒60°60°，

23”成立的必要不充分条件. 2故“A>60°”是“sin A>3.下列命题为假命题的是(

) A.在△ABC中，B＝60°是△ABC的三内角A，B，C成等差数列的充要条件

B.已知向量a＝(x,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是x＝－1 C.在△ABC中，A＝B是sin A＝sin B的充要条件

D.lg x>lg y是x>y的充要条件

答案

D 解析

选项A中，由B＝60°⇒A＋C＝120°⇒A＋C＝2B⇒角A，B，C成等差数列；

而角A，B，C成等差数列⇒A＋C＝2B，

又A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，

所以B＝60°，故命题为真. 选项B中，a⊥b⇔a·b＝0，

即2x＋2＝0，得x＝－1，故B正确. 选项C中，在△ABC中，A＝B⇒sin A＝sin B，

反之，若sin A＝sin B，

因为A与B不可能互补(因为三角形的三个内角和为180°)，所以只有A＝B. 故A＝B是sin A＝sin B的充要条件. 选项D中，取x＝2，y＝0，

有x>y，但lg y却无意义，

所以是假命题. 4.直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切的充要条件是________________. 答案

m＝－4或m＝0 解析

圆心(1,1)到直线x＋y＋m＝0的距离为2，

即|1＋1＋m|＝2，

2即|2＋m|＝2，解得m＝－4或m＝0. 5.已知p：3x＋m<0，q：x2－2x－3>0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围. m解

由3x＋m<0，得x<－，

3m∴p：A＝{x|x<－}. 3由x2－2x－3>0，得x<－1或x>3，

∴q：B＝{x|x<－1或x>3}. ∵p⇒q而q⇏p，

m∴AB，∴－≤－1，

3∴m≥3，即m的取值范围是[3，＋∞).

1.充要条件的判断有三种方法：定义法、命题等价法、集合法. 2.充要条件的证明与探求

(1)充要条件的证明是分充分性和必要性两方面来证明的，在证明时要注意两种叙述方式的区

别：

①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；

②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性. (2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.