3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学实录与评析

3.1.1直线的倾斜角和斜率

教学目标:

知识与技能

(1)

正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．

(2)

理解直线的倾斜角的唯一性. (3)

理解直线的斜率的存在性. (4)

斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．

情感态度与价值观

(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．

(2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．

重点与难点:

直线的倾斜角、斜率的概念和公式. 教学用具：计算机

教学方法：启发、引导、讨论. 教学过程：

※

学习探究

新知1：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角（angle of

inclination）. 关键：①直线向上方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角. 注意:当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度..

试试：请描出下列各直线的倾斜角.

反思：直线倾斜角的范围？

探究任务二：在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”，则坡度的公式是怎样的？

)的正切值叫做这条直线的斜率(slope).记为ktan. 2学生探究一：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为

⑴当0o时，则k

；

⑵当0o90o时，则k

；

⑶当90o时，则k

；

⑷当900180o时，则k

.

确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点和一个倾斜角α．．．P．．．．．．．．. 新知2：一条直线的倾斜角(

新知3：已知直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式：

斜率公式:

探究任务三：

1.已知直线上两点A(a1,a2),B(b1,b2),运用上述公式计算直线的斜率时，与A,B两点坐标的顺序有关吗？

2．当直线平行于y轴时，或与y轴重合时，上述公式还需要适用吗？为什么？

由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 例如, α=45°时, k = tan45°= 1; α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1. 学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. ※

典型例题

例1 已知直线的倾斜角，求直线的斜率：

⑴30；

⑵135；

⑶60；

⑷90

学生探究二：已知直线的斜率，求其倾斜角. ⑴k0；

⑵k1；

⑶k3；

⑷k不存在.

例2 求经过两点A(2,3),B(4,7)的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角.

学生探究三：

练1. 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角. ⑴A(2,3),B(1,4)；

⑵A(5,0),B(4,2).

练2．画出斜率为0,1,1且经过点(1,0)的直线.

练3．判断A(2,12),B(1,3),C(4,6)三点的位置关系，并说明理由.

三、总结提升

※

学习小结

1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是[0,180). 2.直线斜率的求法：⑴利用倾斜角的正切来求；⑵利用直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的坐标来求；⑶当直线的倾斜角90时，直线的斜率是不存在的

3．直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系：

直线的斜直线的斜率公直线的倾

斜角

式

率k

王新敞定

义

取值范围

ktan

ky2y1

x2x1[0,180)

(,)

(x1x2)

※

当堂检测（时量：5分钟

满分：10分）计分：

1. 下列叙述中不正确的是（

）. A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应

B．每一条直线都惟一对应一个倾斜角

C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0o或90

D．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为tan

2. 经过A(2,0),B(5,3)两点的直线的倾斜角（

）. A．45

B．135

C．90

D．60

3. 过点P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(

). A.1

B.4

C.1或3

D.1或4 4. 直线经过二、三、四象限，l的倾斜角为，斜率为k，则为

角；k的取值范围

.

课后作业

1.

已知点A(2,3),B(3,2)，求直线AB的斜率k和倾斜角。

112. 已知直线l过A(2,(t)2),B(2,(t)2)两点，求此直线的斜率和倾斜角

tt

板书设计

§3.1.1……

1．直线倾斜角的概念

3.例1……

练习1

练习3 2. 直线的斜率

4.例2……

练习2

练习4