3.1.1 空间向量及其加减运算教学设计(第二课时)

§3.1.1

空间向量及其运算

教学要求：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．

教学难点：由平面向量类比学习空间向量．

教学过程：

一、复习引入

1、有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？

a既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母、b等表示；

用有向线段的起点与终点字母：AB．长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 2. 向量的加减以及数乘向量运算：

向量的加法：

向量的减法：

实数与向量的积：

实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：|λa|＝|λ||a|

(2)当λ＞0时，λa与a同向；

当λ＜0时，λa与a反向；

当λ＝0时，λa＝0. 3. 向量的运算运算律：加法交换律：a＋b＝b＋a

4. 三个力都是200N，相互间夹角为60°，能否提起一块重500N的钢板？

二、新课讲授

1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模.

→

举例？

表示？（用有向线段表示）

记法？

→

零向量？

单位向量？

相反向量？

→

讨论：相等向量？

同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．

→

讨论：空间任意两个向量是否共面？

2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：

OBOAAB=a+b，

ABOBOA（指向被减向量），

OPλa

(R)

（请学生说说数乘运算的定义？）

3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律．



⑴加法交换律：a

+b

= b

+ a；

⑵加法结合律：(a

+ b) + c

=a+ (b

+ c)；



⑶数乘分配律：λ(a

+ b)

=λa

+λb；



⑶数乘结合律：λ(ua)

=(λu)a

．

4. 推广：⑴A1A2A2A3A3A4An1AnA1An；

⑵A1A2A2A3A3A4An1AnAnA10；⑶空间平行四边形法则．

5. 出示例：已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）ABCDA'B'C'D（如图）'，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：

⑵ABADAA'；

⑴ABBC；11

(3)ABADCC'；

⑷(ABADAA')．23

6. 得出共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使得

p= xa+yb

．

证明：必要性：由已知，两个向量a、b不共线．

∵

向量p与向量a、b共面

∴

由平面向量基本定理得：存在一对有序实数对x，y，使得

p= xa+yb．

充分性：如图，∵

xa，yb分别与a、b共线，

∴

xa，yb都在a、b确定的平面内．

又∵

xa+yb是以｜xa｜、｜yb｜为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此平行四边形在a、b确定的平面内，

∴

p= xa+yb在a、b确定的平面内，即向量p与向量a、b共面．

说明：当p、a、b都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p、a、b所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内．

7. 共面向量定理的推论是：空间一点P在平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y，使得MPxMAyMB，①

或对于空间任意一定点O，有

OPOMxMAy．②M

分析：⑴推论中的x、y是唯一的一对有序实数；

⑵由OPOMxMAyMB得：OPOMx(OAOM)y(OBOM)，

∴OP(1xy)OMxOAyOB

③

公式①②③都是P、M、A、B四点共面的充要条件．

8.几何意义：已知向量AB＝a和轴l，e是l上和l同方向的单位向量．作点A在l上的射影A′，点B在l上的射影B′，则A'B'叫做向量AB在轴l上或在e方向上的正射影，简称射影．可以证明：A'B'＝｜AB｜cos＜a,e＞＝a·e．说明：一个向量在轴上的投影的概念，就是a·e的几何意义．

9. 空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：

⑴a·e＝｜a｜·cos＜a,e＞；

⑵a⊥ba·b＝０

⑶当a与b同向时，a·b＝｜a｜·｜b｜；

当a与b反向时，a·b＝－｜a｜·｜b｜.

特别地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝aaa2. ab

⑷cos＜a,b＞＝;

⑸｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜.

ab10. 空间向量数量积的运算律：与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积有如下运算律：

⑴(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) (数乘结合律)；

⑵

a·b＝b·a (交换律)；

⑶a·(b＋c)＝a·b＋a·c

(分配律) 说明：⑴(a·b)c≠a（b·с）；⑵有如下常用性质：a2＝｜a｜2，(a＋b)2＝a2＋２a·b＋b2

11. 单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示．

单位——三个基向量的长度都为1；正交——三个基向量互相垂直．

选取空间一点O和一个单位正交基底｛i,j,k｝，以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向建立三条坐标轴：x轴、y轴、z轴，得到空间直角坐标系O-xyz，

12. 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a，且设i、j、k为坐标向量，则存在唯一的有序实数组(a1,a2,a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k．

空间中相等的向量其坐标是相同的．→讨论：向量坐标与点的坐标的关系？

向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB＝OB－OA＝(x2,y2,z2)－(x1,y1,z1)＝(x2x1,y2y1,z2z1)．

13. 向量的直角坐标运算：设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则

⑴a＋b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；

⑵a－b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；

⑶λa＝(a1,a2,a3)(R)；

⑷a·b＝a1b1a2b2a3b3

证明方法：与平面向量一样，将a＝a1i＋a2j＋a3k和b＝b1i＋b2j＋b3k代入即可．

14. 两个向量共线或垂直的判定：设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则

⑴a//ba＝λba1b1,a2b2,a3b3，(R)a1a2a3；

b1b2b3⑵a⊥ba·b=0a1b1a2b2a3b30．

15. 练习：已知a＝(2,3,5)，b＝(3,1,4)，求a＋b，a－b，8a，a·b．解：略．

当cos＜a、b＞＝0时，a⊥b．

16. 两点间距离共识：利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式：

在空间直角坐标系中，已知点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则

dA、B(x2x1)2(y1y2)2(z1z2)2，其中dA、B表示A与B两点间的距离．

17. 练习：已知A(3,3,1)、B(1，0，5)，求：⑴线段AB的中点坐标和长度；⑵到A、B两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标x、y、z满足的条件．

（答案：(2,3,3)；29；4x6y8z70）

2xx2y1y2z1z21说明：⑴中点坐标公式：OM(OAOB)＝(1

,,)；2222⑵中点p的轨迹是线段AB的垂直平分平面．在空间中，关于x、y、z的三元一次方程的图形是平面．

18.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1E1D1F1成的角的余弦值．

A1B1，求BE1与DF1所4