1.2.1 充要条件教学设计实例

1．2.2

充要条件

1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．

2.结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法．

3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明．

1．充分条件与必要条件

命题真假

推出关系

条件关系

“若p，则q”是真命题

p⇒q

“若p，则q”是假命题

p⇒q

p不是q的充分条p是q的充分条件，件，q不是p的必要q是p的必要条件

条件

2.充要条件

(1)推出关系：p⇒q，且q⇒p，记作p⇔q．

(2)简称：p是q的充分必要条件，简称充要条件．

(3)意义：p⇔q，则p是q的充要条件或q是p的充要条件，即p与q互为充要条件．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(

) (2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．(

) (3)q不是p的必要条件时，“p⇒q”成立．(

) 答案：(1)√

(2)√

(3)√

2．“θ＝0”是“sin θ＝0”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．既是充分条件，也是必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：A 3．“a＞b”是“a＞|b|”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．既是充分条件，也是必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：B 4．已知A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的________条件，“x∈B”是“x∈A”的________条件．

答案：充分

必要

探究点一

充分、必要、充要条件的判断

指出下列各题中，p是q的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)．

(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；

(2)p：x2＞1，q：x＞1；

(3)p：△ABC有三个内角相等，q：△ABC是正三角形；

(4)p：|a·b|＝a·b，q：a·b＞0. [解]

(1)因为p⇒q，q

p，

所以p是q的充分不必要条件．

(2)因为p

q，q⇒p，

所以p是q的必要不充分条件．

(3)因为p⇒q，q⇒p，即p⇔q，

所以p是q的充要条件．

(4)因为a·b＝0时，|a·b|＝a·b，

所以“|a·b|＝a·b”

“a·b＞0”，即p

q.

而当a·b＞0时，有|a·b|＝a·b，即q⇒p.

所以p是q的必要不充分条件．

充分、必要、充要条件的判断方法

(1)定义法

若p⇒q，q⇒p，则p是q的充分不必要条件；

若p⇒q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件；

若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件；

若p⇒q，q⇒p，则p是q的既不充分也不必要条件．

(2)集合法

对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下：

若A⊆B，则p是q的充分条件；

若A⊇B，则p是q的必要条件；

若A＝B，则p是q的充要条件；

若AB，则p是q的充分不必要条件；

若AB，则p是q的必要不充分条件．

(3)等价法

等价转化法就是在判断含有与“否”有关命题条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．

1.判断下列各题中p是q的什么条件？

π1(1)p：α＝，q：cos α＝；

32(2)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；

(3)在△ABC中，p：a>b，q：sin A>sin B；

(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．

ππ11解：(1)因为α＝⇒cos α＝，cos α＝⇒α＝，

3223所以p是q的充分不必要条件．

(2)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以推出(a－2)(a－3)＝0，因此p是q的必要不充分条件．

ab(3)由正弦定理＝，

sin Asin B知a>b⇒sin A>sin B，sin A>sin B⇒a>b，

所以p是q的充要条件．

四边形的对角线相等⇒四边形是平行四边形，(4)因为

四边形是平行四边形⇒四边形的对角线相等，所以p是q的既不充分也不必要条件．

探究点二

充分条件、必要条件、充要条件的应用(规范解答)

(本题满分12分)已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．

(1)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围；

(2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

[解]

(1)p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．

因为p是q的必要不充分条件，

所以q是p的充分不必要条件，

即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x

≤10}，(2分)

1－m≥－2，1－m＞－2，故有或

1＋m＜101＋m≤10，(4分)

解得m≤3.

又m＞0，所以实数m的取值范围为

{m|0＜m≤3}．(6分) (2)p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋

m(m＞0)．

因为p是q的充分不必要条件，

设p代表的集合为A，q代表的集合为B，

所以AB.(8分)

1－m≤－2，1－m＜－2，所以或

1＋m＞101＋m≥10.(10分)

解不等式组得m＞9或m≥9，

所以m≥9，

即实数m的取值范围是{m|m≥9}．(12分)

本例中p、q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件．

解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．

若p是q的充要条件，

－2＝1－m，则m不存在．

10＝1＋m，故不存在实数m，使得p是q的充要条件．

根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解.

2.若“x＝2”是“x2－2x＋c＝0”的充分条件，则c＝________．

解析：若“x＝2”是“x2－2x＋c＝0”的充分条件，则x＝2是方程x2－2x＋c＝0的根，可得c＝0.

答案：0 探究点三

充要条件的证明

求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

[证明]

充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根)

因为ac<0，

所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，所以方程一定有两不等实根．

c设两根为x1，x2，则x1x2＝<0，

a所以方程的两根异号．

即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．

必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac<0)

因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2，

c则由根与系数的关系得x1x2＝<0，即ac<0.

a2综上可知：一元二次方程ax＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.

充要条件的证明策略

(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真.

(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．

11

3.已知x，y都是非零实数，且x＞y，求证：＜的充要条件是xy＞0. xyxy证明：法一：充分性：由xy＞0及x＞y，得＞，

xyxy11即＜.

xyy－x1111必要性：由＜，得－＜0，即＜0.

xyxyxy因为x＞y，所以y－x＜0，所以xy＞0.

11所以＜的充要条件是xy＞0.

xyy－x1111法二：＜⇔－＜0⇔＜0.

xyxyxyy－x由条件x＞y⇔y－x＜0，故由<0⇔xy＞0.

xy11所以＜⇔xy＞0，

xy11即＜的充要条件是xy＞0. xy

1．充分条件、必要条件的判断方法

(1)定义法：直接利用定义进行判断．

(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．

(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充分必要条件．

2．充要条件的证明与探求

(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明．在证明时要注意两种叙述方式的区别：

①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；

②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性．

(2)探求充要条件，也可先证出必要性，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．

3．充分条件、必要条件、充要条件的传递性

(1)若p是q的充分条件，q是s的充分条件，即p⇒q，q⇒s，则有p⇒s，即p是s的充分条件；

(2)若p是q的必要条件，q是s的必要条件，即q⇒p，s⇒q，则有s⇒p，即p是s的必要条件．

(3)若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件.

1．函数f(x)＝x＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是(

) A．m＝－2 B．m＝2 C．m＝－1

D．m＝1 2解析：选A.当m＝－2时，f(x)＝x－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2. 2．(2015·高考天津卷)设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A.|x－2|<1⇔1

由于{x|1

3．“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的________条件．

解析：圆心为(a，b)，半径r＝2.若a＝b，有圆心(a，b)到直线y＝x＋2的距离d＝r，|a－b＋2|所以直线与圆相切．若直线与圆相切，有＝2，则a＝b或a－b＝－4，所以“a2＝b”是“直线与该圆相切”的充分不必要条件．

答案：充分不必要

4．判断下列各题中的条件p是结论q的什么条件．

(1)条件p：ax2＋ax＋1＞0的解集为R，结论q：0＜a＜4；

(2)条件p：AB，结论q：A∪B＝B. 解：(1)因为当0＜a＜4时，Δ＜0，

所以当0＜a＜4时，ax2＋ax＋1＞0恒成立，所以q⇒p，

而当a＝0时，ax2＋ax＋1＞0恒成立，

所以p

q，所以p为q的必要不充分条件．

(2)因为AB⇒A∪B＝B，所以p⇒q.

而当A∪B＝B时，A⊆B，即q

p，

所以p为q的充分不必要条件．

2