3.1.2 空间向量的数乘运算名师教学视频（文字实录）

江门市棠下中学

高二数学◆选修2-1◆导学案

编写：欧海雄

校审：高二理科数学备课组

编号：37 §3.1.2 空间向量的数乘运算

学习目标

1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；

2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；

3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

→→【例1】（全优P49）设空间四点O，A，B，P满足OP＝mOA→＋nOB，其中m＋n＝1，则(

) A．点P一定在直线AB上

B．点P一定不在直线AB上

C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上

→→D.AB与AP的方向一定相同

变式1：已知A,B,P三点共线，点O是直线AB外一点，若OP1OAtOB，那么t＝

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学习过程

一、※导: 复习引入

复***面上，什么叫做两个向量平行？

在平面上有两个向量a,b，

若b是非零向量，则a与b平行的充要条件是

______

二、※思+议（阅读教材P86~ P87，找出疑惑之处）

探究:共线向量与共面向量

向量共线(平行)向量

共面向量

表示空间向量的有向线段所

在的直线____________，则这平行于______________的

定义

些向量叫作__________或平向量叫作共面向量

行向量

若两个向量a，b不共线，

对于空间任意两个向量a，

充要则向量p与a，b共面的充b(b≠0)，a∥b的充要条件是

条件要条件是存在唯一的有序

存在实数λ使a＝λb

实数对(x，y)，使p＝xa＋yb

向量

共线(平行)向量

共面向量

如果l为经过点A

且平行于已知非

零向量a的直线，

那么对于空间任空间一点P位于平

一点O，点P在直线l上的充如图，

面MAB内的充要条件是→要条件是存在实数t，使OP＝推论

存在有序实数对(x，y)，→

OA＋ta①，其中a叫作直线l→使MP＝__________，或

的________，如图所示．

对空间任意一点O来说，→

若在l上取AB＝a，则①式可

→→→→有OP＝OM＋xMA＋yMB

→→→化为OP＝OA＋tAB

三、※议

1,若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式

例2下列等式中，使M,A,B,C四点共面的个数是（

）

①OMOAOBOC;

②OMOAOBOC;

③MAMBMC0;

④OMOAOBOC0. A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

变式：已知A,B,C三点不共线，O为平面ABC外一点，若向量OPOAOBOCR,

则P,A,B,C四点共面的条件是

例3 已知平行六面体ABCDA'B'C'D'，点M是棱AA'的中点，点G在对角线A'C上，且CG:GA'=2:1,设CD1513121573OP111OAOBOC,则点P与

A,B,C共面吗？

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结论：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式OPxOAyOBzOC,且点P与

A,B,C共面，则xyz

.

练：已知A,B,C三点不共线，O为平面ABC外一点，若向量OPOAOBOCR,

则P,A,B,C四点共面的条件是

四、※展+评：例题分析

1 =a，CBb,CC'c，试用向量a,b,c表示向量1573CA,CA',CM,CG.

五：※测

2018年上学期◆高二

第1周：1月4日

班级：

姓名：

第三章

空间向量与立体几何

→1（全优P48）．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量AB1，→→AD1，

BD是

(

)

A．有相同起点的向量

B．等长的向量

C．共面向量

D．不共面向量

2, （全优P48）下列命题中正确的是(

) A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线

B．向量a，b，c共面即它们所在的直线共面

C．零向量没有确定的方向

D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb

3（课本P89）：如图，已知A,B,C不共线，从平面ABC外任一点O，作出点P,Q,R,S,使得：

⑴OPOA2AB2AC

⑵OQOA3AB2AC

⑶OROA3AB2AC

⑷OSOA2AB3AC.

六：※学习小结

1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；

2. 空间两个向量共线的充要条件及推论.

※

知识拓展

平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.

七：※用

课后作业

1. 在下列命题中：

①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；

②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；

③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；

④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．

其中正确命题的个数为

（

）. A．0

B.1

C.

2

D.

3

2（全优P50）. 已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分→→→别是BC，CD的中点，则MG－AB＋AD等于(

) →A.3→→→2DB

B．3MG

C．3GM

D．2MG

→→→3.

（全优P50）

已知四面体ABCD，DA＝a，DB＝b，DC＝c，点M→→→在棱DA上，DM＝3MA，N为BC的中点，则MN＝(

) A．－314a－2b－12c

B．34a＋12b＋12c

C．－34a＋12b＋12c

D．34a－12b－12c

4. 平行六面体ABCDA'B'C'D', O为A1C与B1D的交点,则13(ABADAA')

AO

5（全优P50）已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点O1为上底→→→→面A1B1C1D1的中心，若AO1＝AA1＋xAB＋yAD，则x＝______，y＝______.

6（选做）（全优P50）已知平行四边形ABCD(如图)，从平面→→→→→ABCD外一点O引向量OE＝kOA，OF＝kOB，OG＝→→→kOC，OH＝kOD，求证：

(1)E，F，G，H四点共面；

(2)平面EFGH∥平面ABCD.

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