1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）教案板书设计

§1.3

空间几何体的表面积、体积

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1.掌握与三视图相结合求解柱、锥、台、球的表面积和体积

2.理解计算公式

考点1

几何体的表面积

1.柱、锥、台和球的侧面积和体积

圆柱

圆锥

圆台

直棱柱

正棱锥

面积

S侧＝________ S侧＝________ S侧＝π(r1＋r2)l

S侧＝________ S侧＝________ 1正棱台

S侧＝(C＋C′)h′

2球

S球面＝________ 1答案：2πrh

πrl

Ch

2Ch′

4πR2

2．几何体的表面积

(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是__________．

(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是________、________、________；它们的表面积等于________与底面面积之和．

答案：(1)各面面积之和

(2)矩形

扇形

扇环

侧面积

侧面展开图：关注展开图的形状．

(1)若圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的侧面积等于________．

答案：2π

1解析：圆锥的母线长为32＋12＝2，故所求侧面积S＝2×2×π×2＝2π.

(2)圆台的上下底面圆的半径分别为1,2，高为1，则圆台的侧面积等于________．

答案：32π

解析：圆台的母线长为2－12＋12＝2，所以所求侧面积S＝π(1＋2)×2＝32π.

[典题1]

(1)[2017·湖北七校联考]如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，点P是平面A1B1C1D1内的一个动点，则三棱锥P－ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值为(

)

A．1 B．2 11C.2

D.4

[答案]

B [解析]

由题意知，三棱锥P－ABC的正视图是一个底为1，高为2的三角形，其面积为1，而当P在底面ABCD内的投影在△ABC1的内部或边界上时，其俯视图的面积最小，最小值为2，此时，三棱锥P－ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值为2.故选B. (2) [2015·新课标全国卷Ⅰ]圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝(

)

A．1

B．2 C．4

D．8 [答案]

B [解析]

如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球1的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝2×4πr2＋πr2

＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，

∴

(5π＋4)r2＝16＋20π，

∴

r2＝4，r＝2，故选B. [点石成金]

求解几何体面积的常见策略

(1)已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理．

(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开成平面图形来计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.

1.[2017·安徽江南十校联考]某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为(

)

A．4π＋16＋43

B．5π＋16＋43 C．4π＋16＋23

D．5π＋16＋23 答案：D 解析：由三视图可知，该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱的两个侧面面积之和为2×4×2＝16，两个底面面积1之和为2×2×2×3＝23；半圆柱的侧面积为π×4＝4π，两个底面1面积之和为2×2×π×12＝π，所以几何体的表面积为5π＋16＋23，故选D.

考点2

几何体的体积

圆柱

圆锥

体积

V＝________＝πr2h

121222V＝________＝3πrh＝3πrl－r

1V＝3(S上＋S下＋S上S下)h

122＝3π(r1＋r2＋r1r2)h

V＝________ V＝________ 1V＝3(S上＋S下＋S上S下)h

43V＝3πR

圆台

直棱柱

正棱锥

正棱台

球

11答案：Sh

3Sh

Sh

3Sh

空间几何体表面积和体积的求解：公式法．

(1)圆柱的底面半径为1，高为22，若该圆柱内接于球O，则球O的表面积是________．

答案：12π

解析：过圆柱的上、下底面圆的圆心作截面，在该截面图中，易求得球O的半径R＝12＋22＝3，所以球O的表面积S＝4πR2＝12π.

(2)侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱，已知直四棱柱的底面是正方形，其所有棱长之和为12，表面积为6，则其体积为________．

答案：1

解析：设该直四棱柱的底面边长为a，高为b，则有8a＋4b＝12，2a＋b＝3，2即2

2a＋4ab＝6，a＋2ab＝3，a＝1，解得

b＝1.

角度一

以三视图为背景的几何体的体积

[典题2]

(1)[2017·河北石家庄一模]某几何体的三视图如图所示，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的体积是(

)

16A．4 B.3

20C.3

D．12 [答案]

B [解析]

由三视图可得，该几何体是一个五面体ABHGEF(如图)，

长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝2，CC1＝2，D1E＝FC1＝DG＝HC＝1，连接AF，AH，则该几何体的体积是VA－EFHG＋11116VF－ABH＝3×22×2＋3×2×4×2×2＝3. (2)一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为(

)

2040A.3

B．3

C．20 D．40 [答案]

B [解析]

由几何体的三视图可知，该空间几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示．

1140其体积为3×2(1＋4)×4×4＝3. 角度二

求几何体的体积

[典题3]

如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为(

)

23A.3

B.3

43C.3

D.2

[答案]

A [解析]

如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，

1容易求得EG＝HF＝2，

3AG＝GD＝BH＝HC＝2，

122∴S△AGD＝S△BHC＝2×2×1＝4，

∴V＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC

12122＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝3×4×2×2＋4×1＝3.故选A.

[点石成金]

空间几何体体积问题的常见类型及解题策略

(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．

(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．

(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．