3.1.3 空间向量的数量积运算教学设计实例

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授课时间：

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课题

3.1.3．空间向量的数量积

课型

新授课

第几

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1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；

学

2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何目

中的一些简单问题。

标

(三维) 教学重点与

难点

教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。

教学方法与

手段

学生自主学习，小组讨论，教师适当引导完成本节内容的学习。

使

用

教

材

的

构

想

本小节在平面向量的夹角和向量长度概念的基础上，引入了空间向量的夹角，长度的概念和表示方法，介绍了空间两个向量的数量积的概念和计算方法运算律。而教科书第90页的“思考”栏目的三个问题之对数量积运算律的进一步分析与思考。因此一定要给学生足够时间思考。

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学生复习

学生听讲思考

学生阅读学习目标

学生回忆有关平面向量数量积的相关内容后类比着探究空间向量数量积的相关知识。

小组学生讲解自己组的探究学习成果：

1．空间向量的夹角及其表示：

已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OAa,OBb，则Ⅰ复习引入：

1.复习：

复习空间向量基本定理及其推论。

2．引入：

对比平面向量的相关知识引入空间向量数量积。

Ⅱ新课讲解：

1．

给出学习目标：

1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；

2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。

2．请同学回忆平面向量有关数量积的知识，类比平面向量有关数量积探究空间向量数量积的相关知识。

给学生二十分钟时间自学、小组合作探究空间向量数量积的知识。

请小组学生派代表讲解自己组的学习成果，其他组补充。

补

充

课堂变化及处理

主要环节的效果

AOB叫做向量a与b的夹角，记作a,b；且规定0a,b，显然有a,bb,a；

若a,b，则称a与b互相垂2直，记作：ab；

2．向量的模：

设OAa，则有向线段OA的长度

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请其他小组补充该小组不完整的地方

教师点评并补充学生讲解不完整的地方。

Ⅲ例题分析：

例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。

已知：m,n是平面内的两条相交直

补

充

课堂变化及处理

学

生

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为

主要环节的效果

叫做向量a的长度或模，记作：

|a|；

3．向量的数量积：

已知向量

B

a,b，e

则

A

B

|a||b|cosa,bA

C

叫做

a,b的

数量积，记作ab，即ab|a||b|cosa,b．

e是l上与已知向量ABa和轴l，l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A，作点B在l上的射影B，则AB叫做向量AB在轴l上或在e上的正射影；可以证明AB的长度|AB||AB|cosa,e|ae|．

4．空间向量数量积的性质：

（1）ae|a|cosa,e．

（2）abab0．

（3）|a|2aa．

5．空间向量数量积运算律：

（1）(a)b(ab)a(b)．

（2）abba（交换律）．

（3）a(bc)abac（分配律）．

其他小组同学补充

学生审题

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直线l与平面的交点为B，且lm,ln

l学

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学生思考，试着完成题目。

学生讲解题目的解题过程。

证明：在内作不与m,n重合的任一直线g，

在l,m,n,g上取非零向量ml．求证：gln

ngm

给学生时间让学生思考本题的解题方法。

请学生完成题目。

教师点评学生的做题过程。

例2．已知空间四边形ABCD中，ABCD，ACBD，求证：ADBC．

请学生审题后思考解决此题。

请学生完成此题

l,m,n,g，∵m,n相交，

∴向量m,n不平行，由共面定理可知，存在

唯一有序实数对(x,y)，使gxmyn，

∴lgxlmyln，又∵补

充

课堂变化及处理

主要环节的效果

lm0,ln0，

∴lg0，∴lg，∴lg，

所以，直线l垂直于平面内的任意一条直线，即得l．

学生审题

学生完成题目：

证明：（法一）ADBC(ABBD)(ACAB)

ABACBDACABABBD

2AB(ACABBD)ABDC0．

（法二）选取一组基底，设ABa,ACb,ADc，

∵ABCD，∴a(cb)0，即acba，

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教师点评

说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。

例3．如图，O

在空间四边形OABC中，OA8，AB6，A

C

AC4，BC5，B

OAC45，OAB60，求OA与BC的夹角的余弦值。

请学生思考完成题目：

所以，OA与BC的夹角的余弦值为教师点评

教师总结

322

5说明：由图形知向量的夹角时易出错，如OA,AC135易错写成

OA,AC45，切记！

Ⅳ小结; 学生小结

请学生小结本节内容。

教师总结

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补

充

课堂变化及处理

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为

主要环节的效果

同理：abbc，，

∴acbc，

∴c(ba)0，∴ADBC0，

即ADBC．

学生审题

学生完成

解：∵BCACAB，

∴OABCOAACOAAB

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☆补充设计☆

板

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§3.1.3 空间向量的数量积

一、平面向量复习 二、空间向量 三、例1 ⒈数量积运算法则 ⒈数量积运算法则 例2 ⒉数量积运算律 ⒉数量积运算律 例3 ⒊应用 ⒊应用 小结

作

业

设

计

课本P98,4,5,

教

学

后

记

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课时达标检测

项目

检测内容

1.如图所示，已知正四面体O-ABC的棱长为 a，求AB·OC.

检测的目标点与用时预设；反馈，矫正方法预设与达标效果补充

解

由题意知 |AB | = |AC | = | AO | = a，且〈AB，AO〉= 120AB

，CA〉= 120

AB·OC =AB·（OACA

）

= AB·OAAB·CA ,

= a2cos120°a2cos120°＝0 当堂

在求两向量的夹角时一定要注意两向量的起点必须在同一点，

如〈AB，AC→〉＝60°时，〈AB

，CA→〉＝120

2．如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，

∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值

达标

解 . 因BCACAB,

所以

OA·BC =OA·AC

OA·AB

检测

=|OA||AC|cos〈OA

，AC〉| OA | | AB | cos〈OA , AB

〉

=8×4×cos135° 8×6×cos120°

16224,

cos〈OA,BC〉=OA→·BC→|→.

OA||→BC|＝24－1628×5＝3－225. 即OA与BC所成角的余弦值为3－225.

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