3.1直线的倾斜角与斜率（通用）优秀公开课教案

必修2

3.1.1 倾斜角与斜率第一课时

教学设计

[三维目标] 知识与技能

（1）了解直线方程的概念．

(2) 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．

（3）理解直线的倾斜角的唯一性. （4）理解直线的斜率的存在性. （5）理解斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．

情感态度与价值观

(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．

(2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形 结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．

教材分析

（1）知识结构

本节内容首先根据一次函数与其图像——直线的关系导出直线方程的概念；其次为进一步研究直线，建立了直线倾斜角的概念，进而建立直线斜率的概念，从而实现了直线的方向或者说直线的倾斜角这一直线的几何属性向直线的斜率这一代数属性的转变；最后推导出经过两点的直线的斜率公式．这些充分体现了解析几何的思想方法．

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（2）重点、难点分析

①本节的重点是斜率的概念和斜率公式．直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用．因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键．

②本节的难点是对斜率概念的理解．学生对于用直线的倾斜角来刻画直线的方向并不难接受，但是，为什么要定义直线的斜率，为什么把斜率定义为倾斜角的正切两个问题却并不容易接受．

教法建议

（1）本节课的教学任务有三大项：倾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式．学生思维也对应三个高潮：倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式如何建立．相应的教学过程也有三个阶段

①在教学中首先是创设问题情境，然后通过讨论明确用角来刻画直线的方向，如何定义这个角呢，学生在讨论中逐渐明确倾斜角的概念．

②本节的难点是对斜率概念的理解．学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的，而斜率却不这样．学生还会认为用弧度制表示倾斜角不是一样可以数量化吗．再有，为什么要用倾斜角的正切定义斜率，而不用正弦、余弦或余切哪?要解决这些问题，就要求教师帮助学生认识到在直线的方程中体现的不是直线的倾斜角，而是倾斜角的正切，即直线方程（一次函数的形式，下同）中x的系数恰好就是直线倾斜角的正切．为了便于学生更好的理解直线斜率的概念，可以借助几何画板设计：

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(1) α变化→直线变化→(2)中的系数变化

（同时注意的变化）．

的变化）．

中的系数变化→直线变化→α变化

（同时注意运用上述正反两种变化的动态演示充分揭示直线方程中系数与倾斜角正切的内在关系，这对帮助学生理解斜率概念是极有好处的．

③在进行过两点的斜率公式推导的教学中要注意与前后知识的联系，课前要对平面向量，三角函数等有关内容作一定的复习准备．

④在学习直线方程的概念时要通过举例清晰地指出两个条件，最好能用充要条件叙述直线方程的概念，强化直线与相应方程的对应关系．为将来学习曲线方程做好准备．

（2）本节内容在教学中宜采用启发引导法和讨论法，设计为启发、引导、探究、评价的教学模式．学生在积极思维的基础上，进行充分的讨论、争辩、交流、和评价．倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式的建立，这三项教学任务都是在讨论、交流、评价中完成的．在此过程中学生的思维和能力得到充分的发展．教师的任务是创设问题情境，引发争论，组织交流，参与评价．

重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和过两点的直线的斜率公式. 教学用具：计算机

教学方法：启发、引导、讨论. 教学过程：

一、直线方程的概念

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如图1，对于一次函数直线有下面关系：

（1）有序数对（0，1）满足函数标是（0，1）．

，和它的图像——，则直线上就有一点A，它的坐（2）反过来，直线上点B（1，3），则有序实数对（1，3）就满足一般地，满足函数式标（，）；

反之，直线上每一点的坐标（，）都满足函数式次函数的图象是一条直线，它是以满足．

的每一对，的值，都是直线上的点的坐，因此，一的每一对x，y的值为坐标的点构成的．

从方程的角度看，函数这样满足一次函数也可以看作是二元一次方程的每一对，的值“变成了”二元一次方程，的解，使方程和直线建立了联系．

定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线．

二、直线倾斜角

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我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢? YabcOPX 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?(例如以X轴为参照）

直线的倾斜角的概念: 。

特别地,当直线l与x轴平行或重合时, . 问: 倾斜角α的取值范围是什么? . 当直线l与x轴垂直时, . 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度. YaObXc 如图, 直线a∥b∥c, 那么它们

的倾斜角α相等吗? .所以一个倾斜角α不能确定一条直线.

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确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: . 三、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的 叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 。

⑴当直线l与x轴平行或重合时, α= , k = = ; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= , k 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 表示直线的倾斜程度可用 或 。

四、

过给定两点直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率? 斜率公式: 斜率公式要注意下面五点：

(1)

当x1=x2时，倾斜角α= ,直线的斜率 ，直线 ；

(2)

(2)k与P1、P2的顺序 , 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换; (3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得; (4) 当 y1=y2时, 斜率k = , 直线的倾斜角α= ，直线与x轴平行或重合。

(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．

五、例题

例1、

求经过A(2,0),B(5,3)两点的直线的斜率和倾斜角.6

练习1：已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜 率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角. 提示: 已知两点坐标, 而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k的值; 而当k = tanα<0时, 倾斜角α是钝角; 而当k = tanα>0时, 倾斜角α是锐角; 而当k = tanα=0时, 倾斜角α是0°.

变式1. 已知直线l的一个方向向量为

求直线l的倾斜角和斜率. 例2若经过点P（1－a，1＋a）和Q（3，2 a）的直线的倾斜角为钝角，

求实数a的取值范围.

变式2、已知经过A(m,2),B(m,2m1)的直线的倾斜角为，且4501350，试求实数m的取值范围.

练习2、设直线的斜率为 k，且 3求直线倾斜角α的取值范围 . 3k,

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思考：

设直线m过原点，其倾斜角为α，将直线m绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线n，则直线n的倾斜角为______________.

7 a(3,3),