3.1直线的倾斜角与斜率（通用）特级教师教学实录

人教版数学

必修二第三章

直线与方程

3.1 直线的倾斜角与斜率

教学设计

【课题】

3.1 直线的倾斜角与斜率

【教学目标】

1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；

2．掌握过两点的直线斜率的计算公式；

3．能用公式和概念解决问题.

【教学重点】

直线的倾斜角、斜率的概念和公式

【教学难点】

对直线倾斜角以及斜率的理解

【授课类型】

新授课

【教学方法】

启发诱导，讲练结合

【教学手段】

多媒体辅助教学

【教学过程】

一、探究新知：

知识探究（一） 思考1:在直角坐标系中，下图中的四条直线在位置上有什么联系和区别？

思考2:在直角坐标系中，任何一条直线与x轴都有一个相对倾斜度，可以用一个什么几何量来反映一条直线与x轴的相对倾斜程度呢？

思考3:当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．

二、典例精讲

例1 下列各图中标出的角α是直线的倾斜角吗？

思考4:下图中直线l1，l2，l3的倾斜角大致是一个什么范围内的角？

思考5:特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°，那么直线的倾斜角的取值范围是什么？

0°≤α＜180°

规定: 1.当直线与x轴平行或重合时，

0 2.当直线与x轴垂直时，

9000思考6:任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？ 知识探究（二）

思考1:函数

的图象是直线，这两条直线的倾斜角分别是多少？

思考2:上述两条直线的倾斜角分别与x的系数有什么关系？ 思考3:初中学过的“坡度（比）”是什么含义？它能否表示直线的倾斜程度？它与这条直线的倾斜角之间有什么关系？

坡度（比）升高量前进量

直线的斜率: 设直线的倾斜程度为k kAC

定义: CBABtan我们把一条直线的倾斜角

的正切值叫做这条直线的斜率. 用小写字母

k

表示，即： ktan思考：是否每条直线都有斜率? 1.如果倾斜角是零度角? 2.如果倾斜角是锐角? 3.如果倾斜角是直角? 4.如果倾斜角是钝角? 典例精讲

例2 已知直线的倾斜角,求直线的斜率：

知识探究（三）

由两点确定的直线的斜率: 倾斜角是锐角时：

1a304a1202a455a1503a60

当α为锐角时， P2PQ1

在RtP2P1Q中

ktantanP2P1QQP2P1Qy2y1x2x10

由两点确定的直线的斜率: 倾斜角是顿角时：

当α为钝角时，

yyyy ktan2121x1x2x2x1

0思考1：当直线平行于x轴，或与x轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？

0k0k

y2y1x2x1答：成立，因为分子为0，分母不为0，k =0 思考2：当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？

ky2y1x2x1

90,tan90(不存在)k不存在

答：斜率不存在，因为分母为0。

直线的斜率公式: P经过两点

1(x1,y1),

P2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式：

k

典例精讲

例3:如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，

求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是什么角？

y2y1yy(或k12)

x2x1x1x2

三、课堂基础巩固

四、课堂小结

1、直线的倾斜角定义及其范围：

0180ktana(a90)2、直线的斜率定义：

3、斜率k与倾斜角之间的关系：

a0ktan00

0a90ktana0

a90tana(不存在)k不存在

90a180ktana0yyyy4、斜率公式：

k21(或k12)x2x1x1x2

五、课后作业

P86 练习：2，3，4. P89 习题3.1 A组：3，4，5．

P90 习题3.1 B组：5，6.