2.2.4 平面与平面平行的性质教学设计实例

2.2.4

平面与平面平行的性质

授课教师：柯爱贵 指导老师：陈淑榕

学习目标：

1.掌握平面与平面平行的性质，并会应用性质解决问题. 2.知道直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系可以相互转化．

教学重点：掌握平面与平面平行的性质，知道直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系可以相互转化．

教学难点：应用性质解决问题

教学过程：

一、情景导入

教室的天花板和地面所在的平面是平行平面，那么天花板上的一条直线和地面上的一条直线有什么位置关系呢？能否在地面上作一条直线与天花板内一条直线平行呢？

二、探索新知

知识点

平面与平面平行的性质

观察长方体ABCD－A1B1C1D1的两个面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.

思考1

平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？

答案

是的．

思考2

若m⊂平面ABCD，n⊂平面A1B1C1D1，则m∥n吗？

答案

不一定，也可能异面．

思考3

过BC的平面交面A1B1C1D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系？

答案

平行．

梳理

文字语言

符号语言

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b

图形语言

三、应用探究

类型一

面面平行的性质定理的应用

命题角度1

由面面平行的性质定理求线段长

例1

如图，平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，求CS的长．

证明

设AB，CD共面γ，因为γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，

所以AC∥BD，

SCSA所以△SAC∽△SBD，所以＝，

SC＋CDSB即SC8＝，所以SC＝272. SC＋349引申探究

若将本例改为：点S在平面α，β之间(如图)，其他条件不变，求CS的长．

解

设AB，CD共面γ，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD. 因为α∥β，所以AC与BD无公共点，所以AC∥BD，

ASCS所以△ACS∽△BDS，所以＝. BSDSx8设CS＝x，则＝，所以x＝16，

34－x9即CS＝16. 反思与感悟

应用平面与平面平行性质定理的基本步骤

命题角度2

利用面面平行证明线线平行

例2

如图所示，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求证：四边形ABCD是平行四边形．

证明

∵四边形A′B′C′D′是平行四边形，

∴A′D′∥B′C′. ∵A′D′⊄平面BB′C′C，B′C′⊂平面BB′C′C，

∴A′D′∥平面BB′C′C. 同理AA′∥平面BB′C′C. ∵A′D′⊂平面AA′D′D，AA′⊂平面AA′D′D，

且A′D′∩AA′＝A′，

∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C. 又∵AD，BC分别是平面ABCD与平面AA′D′D，平面BB′C′C的交线，∴AD∥BC. 同理可证AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形．

反思与感悟

本例充分利用了▱A′B′C′D′的平行关系及AA′，BB′，CC′，DD′间的平行关系，先得出线面平行，再得面面平行，最后由面面平行的性质定理得线线平行．

类型二

平行关系的综合应用

例3

设AB，CD为夹在两个平行平面α，β之间的线段，且直线AB，CD为异面直线，M，P分别为AB，CD的中点．求证：MP∥平面β. 证明

如图，过点A作AE∥CD交平面β于点E，

连接DE，BE.

∵AE∥CD，∴AE，CD确定一个平面，设为γ，

则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE. 又α∥β，∴AC∥DE(面面平行的性质定理)，

取AE的中点N，连接NP，MN，

∴M，P分别为AB，CD的中点，

∴NP∥DE，MN∥BE. 又NP⊄β，DE⊂β，MN⊄β，BE⊂β，

∴NP∥β，MN∥β，

∵NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β. ∵MP⊂平面MNP，MP⊄β，

∴MP∥β. 反思与感悟

线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：

四、课堂练习

1．已知平面α与平面β平行，a⊂α，则下列命题正确的是(

) A．a与β内所有直线平行

B．a与β内的无数条直线平行

C．a与β内的任何一条直线都不平行

D．a与β内的一条直线平行

答案

B 解析

若α∥β，a⊂α，则a与β内的部分直线平行，所以A、C、D均不正确，B正确．

2．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中(

) A．不一定存在与a平行的直线

B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线

D．有且只有一条与a平行的直线

答案

D 解析

由于α∥β，a⊂α，M∈β，过M有且只有一条直线与α平行，故D项正确．

3．平面α∥平面β，平面γ∥平面δ，且α∩γ＝a，α∩δ＝b，β∩γ＝c，β∩δ＝d，则交线a，b，c，d的位置关系是(

) A．互相平行

C．相互异面

答案

A 解析

由平面与平面平行的性质定理知，a∥b，a∥c，b∥d，c∥d，所以a∥b∥c∥d，故选A. 4．过正方体ABDC—A1B1C1D1的三顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．

答案

平行

解析

因平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD∩平面A1C1B＝l，平面A1B1C1D1∩平面A1C1B＝A1C1，所以l∥A1C1(面面平行的性质定理)．

5.

如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在平面α和平面β之间，若AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，则△A′B′C′的面积为________．

B．交于一点

D．不能确定

答案

43

9解析

AA′，BB′相交于O，所以AA′，BB′确定的平面与平面α，平面β的交线分别为OAAB3OAAC3OAAB，A′B′，有AB∥A′B′，且＝＝，同理可得＝＝，＝OA′A′B′2OA′A′C′2OA′

BC3＝，所以△ABC，△A′B′C′面积的比为9∶4，又△ABC的面积为3，所以B′C′243△A′B′C′的面积为. 9

6.

如图，已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形BED1F是平行四边形．

证明

如图，连接AC，BD，交点为O，连接A1C1，B1D1，交点为O1，连接BD1，EF，OO1，设OO1的中点为M，

由正方体的性质可得四边形ACC1A1为矩形．

又因为E，F分别为AA1，CC1的中点，

所以EF过OO1的中点M，同理四边形BDD1B1为矩形，

BD1过OO1的中点M，

所以EF与BD1相交于点M，

所以E，B，F，D1四点共面．

又因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1，

平面EBFD1∩平面ADD1A1＝ED1，

平面EBFD1∩平面BCC1B1＝BF，

所以ED1∥BF.同理，EB∥D1F. 所以四边形BED1F是平行四边形．

7.

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证MN∥平面AA1B1B.

证明

如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，

CMCP∵MP∥BB1，∴＝. MB1PB∵BD＝B1C，DN＝CM，

∴B1M＝BN. ∴CPDN＝，∴NP∥CD∥AB. PBNB∵NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，

∴NP∥平面AA1B1B. ∵MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B，

∴MP∥平面AA1B1B，

又∵MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，

∴平面MNP∥平面AA1B1B. ∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.

1．常用的面面平行的其他几个性质

(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．

(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．

(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．

(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．

2．空间中各种平行关系相互转化关系的示意图

四、作业布置

P63

3 补充作业

1. 已知AB，CD是夹在两个平行平面α，β之间的线段，A，B，C，D四点共面，M，N分别为AB，CD的中点，求证：MN∥平面α.

2．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC上一点，M，N分别是AE，CD1的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a，求证：MN∥平面ADD1A1.