1.1.2 简单组合体的结构特征教学设计第二课时

1．空间几何体的结构特征

(1)多面体

①棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形．

②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．

③棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形．

(2)旋转体

①圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到．

②圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到．

③圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到．

④球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到．

2．空间几何体的三视图

空间几何体的三视图是正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图．

3．空间几何体的直观图

画空间几何体的直观图常用斜二测画法，其规则是：

(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直．

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．

4．常用结论

(1)常见旋转体的三视图

①球的三视图都是半径相等的圆．

②水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形．

③水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形．

④水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形．

(2)斜二测画法中的“三变”与“三不变”

坐标轴的夹角改变，“三变”与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变.

平行性不改变，“三不变”与x，z轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(

×

) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(

×

) (3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．(

×(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．(

×

) (5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．(

×

) (6)菱形的直观图仍是菱形．(

×

)

1．(教材改编)下列说法正确的是(

) A．相等的角在直观图中仍然相等

B．相等的线段在直观图中仍然相等

C．正方形的直观图是正方形

D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行

答案

D 解析

由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变．

)

2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱的长度等于(

)

A.34

C．52

答案

C 解析

由题易知该几何体是三棱锥，底面是直角边长分别为3,4的直角三角形，高为5，其最长棱长为32＋42＋52＝52. 3．(2015·广东)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值(

) A．至多等于3

C．等于5

答案

B 解析

当n＝3时显然成立，故排除C，D；由正四面体的四个顶点两两距离相等，得n＝4时成立，故选B. 4．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是(

) B．至多等于4 D．大于5 B.41 D．215

A．48 cm3

C．88 cm3

答案

B 解析

由三视图可知，该几何体是如图所示长方体去掉一个三棱锥，故几何体的体积是116×3×6－××3×5×4＝98.故选B.

32B．98 cm3

D．78 cm3

5.正三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是________．

答案

62a

16解析

画出坐标系x′O′y′，作出△OAB的直观图O′A′B′(如图)．D′为O′A′的中点．

1易知D′B′＝DB(D为OA的中点)，

212236∴S△O′A′B′＝×S△OAB＝×a2＝a2. 224416

题型一

空间几何体的结构特征

例1

(1)给出下列命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；

③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；

④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．

其中正确命题的个数是(

) A．0

B．1

C．2

(2)下列结论：

D．3 ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；

④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；

⑤用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是球．

其中正确结论的序号是________．

(3)设有以下四个命题：

①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；

②底面是矩形的平行六面体是长方体；

③直四棱柱是直平行六面体；

④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．

其中真命题的序号是________．

答案

(1)A

(2)③⑤

(3)①④

解析

(1)①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图1所示；③不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．

图1

图2 (2)这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥，①错；这条腰若不是垂直于两底的腰，则得到的不是圆台，②错；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面是显然成立的，③正确；如果用不平行于圆锥底面的平面截圆锥，则得到的不是圆锥和圆台，④错；只有球满足任意截面都是圆面，⑤正确．

(3)命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能

与底面不垂直，故命题②是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的；命题④由棱台的定义知是正确的．

思维升华

(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．

给出下列命题：

①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；

②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；

③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；

④存在每个面都是直角三角形的四面体．

其中正确命题的序号是________．

答案

②③④

解析

①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体AC1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形．

题型二

空间几何体的三视图

命题点1

由空间几何体的三视图还原出几何体的形状

例2

若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(

)

答案

D 解析

A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，故选D. 命题点2

由空间几何体的直观图判断三视图

例3

一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是(

)

答案

B 解析

该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选B. 命题点3

由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图

例4

已知某组合体的正视图与侧视图相同，如图所示，其中AB＝AC，四边形BCDE为矩形，则该组合体的俯视图可以是________(把你认为正确的图的序号都填上)．

答案

①②③④

解析

直观图如图1的几何体(上部是一个正四棱锥，下部是一个正四棱柱)的俯视图为①；直观图如图2的几何体(上部是一个正四棱锥，下部是一个圆柱)的俯视图为②；直观图如图3的几何体(上部是一个圆锥，下部是一个圆柱)的俯视图为③；直观图如图4的几何体(上部是一个圆锥，下部是一个正四棱柱)的俯视图为④.

思维升华

三视图问题的常见类型及解题策略

(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．

(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．

(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．

(1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是(

)

A．三棱锥

C．四棱锥

答案

(1)B 解析

由题中三视图可知该几何体的直观图如图所示，则这个几何体是三棱柱，故选B. B．三棱柱

D．四棱柱

(2)在如下图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(

)

A．①和②

C．④和③

答案

D 解析

如下图，在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④，俯视图为②. B．③和①

D．④和②

题型三

空间几何体的直观图

例5

(1)右图是水平放置的某个三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点且A′D′∥y′轴，A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中的线段AB，AD，AC，那么(

)

A．最长的是AB，最短的是AC

B．最长的是AC，最短的是AB

C．最长的是AB，最短的是AD

D．最长的是AD，最短的是AC

(2)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是(

)

答案

(1)C

(2)A 解析

(1)A′D′∥y′轴，根据斜二测画法规则，在原图形中应有AD⊥BC，又AD为BC边上的中线，所以△ABC为等腰三角形．AD为BC边上的高，则有AB，AC相等且最长，AD最短．

(2)由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为2，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为22. 思维升华

用斜二测画法画直观图的技巧

在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出．

如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是(

)

A．正方形

C．菱形

答案

C 解析

如图，

B．矩形

D．一般的平行四边形

在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，

CD＝C′D′＝2 cm. ∴OC＝OD2＋CD2

＝422＋22＝6(cm)，

∴OA＝OC，

∴四边形OABC是菱形．

11．三视图识图中的易误辨析

典例

将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为(

)

易误分析

(1)不能正确把握投影方向、角度致误；(2)不能正确确定点、线的投影位置；(3)不能正确应用实虚线区分可见线与非可见线．

解析

侧视图中能够看到线段AD1，应画为实线，而看不到B1C，应画为虚线．由于AD1与B1C不平行，投影为相交线，故应选B. 答案

B 温馨提醒

(1)因对三视图的原理认识不到位，区分不清选项A和B，而易误选A；(2)因对三视图的画法要求不明

而误选C或D.在画三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画，被遮住的部分的轮廓线用虚线画；(3)解答此类问题时，还易出现画三视图时对个别视图表达不准而不能画出所要求的视图，在复习时要明确三视图的含义，掌握“长对正、宽相等、高平齐”的要求．

[方法与技巧]

1．三视图的画法特征

“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．

2．对于简单几何体的组合体，在画其三视图时首先应分清它是由哪些简单几何体组成的，然后再画其三视图．

3．由三视图还原几何体时，要遵循以下三步：

(1)看视图，明关系；(2)分部分，想整体；(3)综合起来，定整体．

[失误与防范]

画三视图应注意的问题

(1)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．

(2)确定正视、侧视、俯视的方向，观察同一物体方向不同，所画的三视图也不同．

A组

专项基础训练

(时间：35分钟) 1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是(

) A．棱柱的侧棱长都相等

B．棱锥的侧棱长都相等

C．三棱台的上、下底面是相似三角形

D．有的棱台的侧棱长都相等

答案

B 解析

根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．

2．如图所示的几何体是棱柱的有(

)

A．②③⑤

C．③⑤

答案

C 解析

由棱柱的定义知③⑤两个几何体是棱柱，故选C. 3．(2015·北京)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为(

) B．③④⑤

D．①③

A．1

C.3

答案

C 解析

四棱锥的直观图如图所示，PC⊥平面ABCD，PC＝1，底面四边形ABCD为正方形且边长为1，最长棱长PA＝12＋12＋12＝3. B.2

D．2

4．(2015·豫晋冀上学期第二次调研)如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1，O2，这两个球外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是(

)

答案

B 解析

由题意可以判断出两球在正方体的面AA1C1C上的正投影与正方形相切，排除C，D，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球全被挡住，由于两球不等，所以排除A，所以B正确．

5．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(

)

答案

B 解析

由已知中几何体的直观图，我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故D不正确；中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，故C不正确；而对角线的方向应该从左上到右下，故A不正确．

6．某几何体的正视图和侧视图均为如图1所示的图形，则在图2的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是(

)

A．①③

C．②④

答案

A 解析

由正视图和侧视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，故①③正确．

7．若一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为________．

B．①④

D．①②③④

答案

4

解析

观察三视图，可得直观图如图所示．

该三棱锥A－BCD的底面BCD是直角三角形，AB⊥平面BCD，CD⊥BC，侧面ABC，ABD是直角三角形；由CD⊥BC，CD⊥AB，知CD⊥平面ABC，CD⊥AC，侧面ACD也是直角三角形．

8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的正视图与侧视图的面积的比值为________．

答案

1 解析

如题图所示，设正方体的棱长为a，则三棱锥P－ABC的正视图与侧视图都是三角形，1且面积都是a2，故面积的比值为1. 29．某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是________．

答案

29 解析

该几何体为如图所示P－ABCD，

最长侧棱为PB＝22＋52＝29.

10．如图是一个几何体的正视图和俯视图．

(1)试判断该几何体是什么几何体；

(2)画出其侧视图，并求该平面图形(侧视图)的面积．

解

(1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥．

(2)该几何体的侧视图如图：

其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图正六边形对边间的距离，即BC＝3a，AD是正六棱锥的高，则AD＝3a，所以该平面图形(侧视图)的面积为

13S＝×3a×3a＝a2. 22B组

专项能力提升

(时间：30分钟) 11．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图的是(

)

答案

D 解析

易知该三棱锥的底面是直角边分别为1和2的直角三角形，注意到侧视图是从左往右看得到的图形，结合B、D选项知，D选项中侧视图方向错误，故选D. 12．已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为____________________________________．

答案

62a

2解析

如图，过C′作y′轴的平行线C′D′，与x′轴交于点D′.

3a26则C′D′＝＝a. sin 45°2又C′D′是原△ABC的高CD的直观图，所以CD＝6a. 16故S△ABC＝AB·CD＝a2. 2213.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是________(写出所有正确的命题的编号)．

1①当0

21②当CQ＝时，S为等腰梯形；

2

31③当CQ＝时，S与C1D1的交点R满足C1R＝；

433④当

4⑤当CQ＝1时，S的面积为答案

①②③⑤

解析

对于①②，如图1所示，

6. 2

12因为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，当CQ＝时，PQ＝，这时过A，P，Q三点的22截面过点D1，AP＝D1Q＝51，且PQ∥AD1，截面S为等腰梯形．当0

对于③④，如图2所示，

连接QR并延长交DD1的延长线于点N，连接AN交A1D1于点M，取AD的中点G，作GH∥PQ11ND1交DD1于点H.易知GH∥AN，且GH＝AN.设CQ＝t(

RC11－t4C1R133当

4对于⑤，当CQ＝1时，Q与C1点重合，且截面S与A1D1的交点为A1D1的中点，设为M，如图3所示，

连接AM，MC1，C1P，AP，则四边形AMC1P为平行四边形．

又∵PC1＝AP＝AM＝5，

2所以四边形AMC1P为菱形．

再连接AC1，PM，可得AC1＝3，MP＝2，

所以截面S的面积为3×26＝，故⑤正确．

2214．某几何体的三视图如图所示．

(1)判断该几何体是什么几何体？

(2)画出该几何体的直观图．

1解(1)该几何体是一个正方体切掉两个圆柱后得到的几何体．

4(2)直观图如图所示．

15．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，求a＋b的最大值．

解

如图，

把几何体放到长方体中，使得长方体的体对角线刚好为几何体的已知棱，则长方体的体对角线A1C＝7，则它的正视图投影长为A1B＝6，侧视图投影长为A1D＝a，俯视图投影长为

a＋bA1C1＝b，则a＋b＋(6)＝2·(7)，即a＋b＝8，又≤

2222222a2＋b2，当且仅当“a＝2b＝2”时等号成立．所以a＋b≤4，即a＋b的最大值为4.