探究与发现 为什么截口曲线是椭圆教案1

为什么截口曲线是椭圆（教学设计）

设计者：王赢赢

【教学目标】

1．通过生活实验，了解截口曲线的不同类型；

2．结合Dandelin双球法，理解截口曲线为椭圆的证明过程；

3．了解圆锥曲线简单的发展史，以及在学习和生活中的应用；

【重点】：理解截口曲线为椭圆的证明过程．

【难点】：Dandelin双球证法中的辅助线添法；

教学

过程

学生活动

设计意图

教师活动

众所周知，哲学的三大问题是：我是谁？我从哪里来？我将要到哪里去？数学离课题引入情景体验

不开哲学。借助视频中椭圆的图形，我们站在椭圆我们站在椭圆的角度再来问一次这几个问题。本节课我们将学习教材第42页探究与发现“为什么截口曲线是椭圆”。既然是“探究与发现”，我就更希望同学们在学习的过程中勇于探究、敢于发现，并能乐于分享。让我们从一个小小的数学实验开始今天愉快的探究发现之旅。

现在每个小组老师给大家准备好了实验器材，有萝卜和小刀、圆柱形容器、圆锥形容器、手电筒和小球以及投影白纸，接下来我们完成四个实验，观察截口曲线的形状。要求：各小组由组长分工，每人做一个实验，全组共同观察讨论截口曲线；小组内依次演示、记录、并讨论汇总实验结果，完成导学案上的表格内容。

序号

实验器材

长萝卜，小刀

圆柱形容器和有色液体

圆锥形容器和有色液体

手电筒，球，投影纸

操作过程

用小刀斜切胡萝卜

倾斜容器

倾斜容器

用手电筒从不同角度照射球

观察对象

切面图形

液面图形

液面图形

球在白纸上的

图形

截口曲线

的形状

实验1 实验2 实验3 实验4 1

完成实验后请两个小组展示结果：

小组展示要求：投影一份导学单的实验结论，四人一起上台，每人展示一个实验并汇报相应的结果。

小组展示实验过程，汇报实验结果：

圆柱的截口曲线：圆、椭圆、直线；

圆锥的截口曲线

：两条直线、圆、椭圆、双曲线？抛物线？

学生意见分歧：当截面倾斜到一定程度，截面与母线平行时，截口曲线还能是封闭的曲线吗？

问题预设：就圆锥形容器而言，这几种不同的截口曲线分别是什么情况下得到的？能通过实验展示给大家吗？（圆锥容器、小球投影）

答案有所不确定或不完善，留作疑问，

可以等待展示截口曲线结论后修正完善。

问题：一般的，用一个不过顶点的平面去截圆锥面，得到的截口曲线会是什么？

师：同学们，刚才大家合作探究的实验发现都很棒！值得表扬：1、合作很棒：取长补短、提高效率；2、成果很棒：勇于探究敢于发现，从特殊到一般，得到的结论都是里程碑的结论。

但是，以椭圆为例，我想问：这里仅从形状上观察到的椭圆是椭圆吗？这个问题有待思考。

其实，刚才我们这个实验过程，在很早的时侯人们也在执着地探求着更为广泛的一般结论。我国古代数学里把椭圆成为“长圆”、“斜圆”，也能够说明一些特征。而历

史上把这个实验做得赫赫有名的阿波罗尼奥斯。

阿波罗尼奥斯是古希腊与阿基米德、欧几里得齐名的亚历山大三大数学家这一，同时他还是天文学家、哲学家、思想家。他曾说过“模仿只会仿制他所见到的事物，而想像则能创造他所没有见过的事物。”，所以他在前人研究的基础上，大胆想象，勇于探究敢于发现，由特殊到一般，不屈不挠地发扬数学的一般化精神，研究归纳出圆锥的截口曲线的结论，分别把不同位置的截口曲线称作：亏曲线、齐曲线和超曲线，后来被称之为椭圆、抛物线、双曲线。

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并作出了数学史上登峰造极的巨著《圆锥曲线论》给出了圆锥曲线的截面定义。我们通过一个小视频来了解一下这位亚历山大时期与阿基米德齐名的数学家。

阿波罗尼奥斯之所以伟大，原来是他做媒，让平面与圆锥面相爱了，有了爱的结晶：漂亮的女儿——圆，帅气的儿子——椭圆、双曲线、抛物线。圆太漂亮，性质特殊堪称完美，后来出嫁了另立门户；而椭圆、双曲线、抛物线三兄弟在以后的两千多年里一直熠熠生辉，至今，他们还是随父姓，所以本章叫“圆锥曲线与方程”。既然是一奶同胞三兄弟，从遗传学的角度来说，就有遗传也有变异，所以这三种不同的圆锥曲线既有共性联系，又有个性区别，我们在后面常采用类比的方法学习和使用。

具体来看这三兄弟的生存状况：用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。

展示结论；

设圆锥轴截面母线与轴的夹角为α，截面和圆锥的轴的夹角为

，当截面不过顶点时，

（1）当

＝α时，即截面和一条母线平行时，交线是抛物线； （2）当α＜

＜时，即截面不和母线平行，且只和圆锥面的一叶相交时，交线是椭2，即截面和圆锥面的轴垂直时，交线是圆．

2圆．特别地，当

＝（3）当0≤

＜α时，即截面不与母线平行，且和圆锥面的两叶都相交时，交线是双曲线．

根据这个结论，我们得到的截口曲线是椭圆没错。可是，我们刚刚学过的椭圆的定义是什么呢？ 生：椭圆的定义：到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹。两个定点叫做焦点。

（

）

师：我把这两个焦点当作是椭圆的眼睛，对椭圆而言，眼睛对椭圆的重要性不言而喻。

轨迹定义是1579年蒙蒂提出来的，当然这个从运动变化的解析角度定义更加方便定量描述。来看看历史发展的顺序：

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从轨迹定义的角度来看，我们观察到的椭圆是椭圆吗？截面定义和轨迹定义有矛盾吗？能统一吗？作为一名数学人，我们必须用数学的精神，给出严谨的证明。我们必须从定义出发，从“数量”角度对我们的“图形”的感觉加以说明。

历史上有很多人尝试用纯几何的方法证明，而最为精妙的是Dandelin双球法。

我们一起来探究学***师之作。

探究证明

以刚才实验中点光源照射小球的投影为例，大家发现这个模型：点光源射出的光线当作圆锥，球与圆锥面和投影面都相切，球的影子事实就是投影面作为截面截圆锥的截面，可以把这个模型中的圆锥补充完整。

问：根据定义，证明的思路是什么？为便于观察，把模型竖起来

。

生：根据定义PE+PF=2a ，需要定点（焦点）、定长；

问：在椭圆面上，，焦点在哪里？也就是椭圆的眼睛，能找到吗？（停顿）

找不到也不要灰心，老师也找不到，历史上也不曾有几个人找到过，但是现在根据前人的经验，根据椭圆的定义，焦点应该在长轴上，从截口形状和对称的角度考虑猜测是球与截面的切点。

再来类比的方法，找另一只眼睛。切点，所以在截面下方放入一个球，使球与圆锥面和截面都相切，那么猜测切点就该是椭圆的另一只眼睛。定点ok！

师：问题转化为证明AE+AF为定值。再问AE、AF分别与两个球是什么位置关系？

生：相切

追问：为什么？

师：接下来寻找定长。

问：过A作圆锥的母线，与上下两个球相切吗？

生：相切；

追问：问什么？

师：再来换个角度，对上面的小球而言，AE、AF是它的两条切线，长度有什么关系？

生：切线长相等，板书AB=AE 追问：为什么？

师：同理，观察大球的切线长，能得到什么结论？

生：AC=AF 师：AE+AF=定值。符合椭圆的定义。

这个精妙的纯几何证明方法是法国著名的数学家Dandelin最早发现的，但这也都已经是阿波罗尼奥斯发现截口曲线是椭圆这个事实后的2000年了，可谓“路漫漫其修远兮”。在此期间，数学家们也经历了各种不懈的努力，但都没有找寻到一种简洁4

有效的方法，因为这个证明过程实际上是用立体几何的方法来证明平面几何的结论，需要人为主动地去构造行之有效的几何关系和等量关系，比如旦德林双球法中人为构造的两个与圆锥面和截面都相切的相对位置固定的球，再根据球的切线长相等把折线变成直线得到定长线段，从而实现平面几何与立体几何的相互融合，借助“体”来证明“面”的问题。后人把这种方法就叫Dandelin双球法，把这两个发挥了巨大作用的球叫做Dandelin双球。Dandelin是著名数学家，也是一名工程学教授。他爸爸是法国人，妈妈是比利时人，他少时就读于比利时根特，1813年他进入了巴黎的高等理工学院。他早期受一个比他年轻两岁的专攻几何学的数学家克莱托影响,在圆锥与圆的切线等研究上取得了巨大的成果在立体投影，代数，及概率领域中也有重大发现，举世闻名的Dandelin双球就以他的名字命名

。

Dandelin双球法，不仅能证明截口曲线是椭圆，也能证明截口曲线为双曲线，还可以把截面和Dandelin球的切点圆面相交得到准线，进而证明圆锥曲线的第二定义，后来人把这个证明叫“冰淇淋定理”。从这里我们也能进一步看到圆锥曲线的联系和统一，有兴趣的同学可以下来继续学习。

实践应用

刚才同学们用一个与圆柱的母线斜交的平面截圆柱，也得到一条截口曲线为椭圆，我们在圆柱内截面两侧也放置两个与圆柱侧面和截面都相切的Dandelin球，你能仿照上述方法，证明圆柱的截口曲线也是椭圆吗？

生：独立完成并上台展示

问：在应用中你觉得dandelin双球法最妙在哪里？

现在，我们可以很有底气地回答课题引入时的问题“我是谁？”“我从哪里来？”椭圆是到两个定点距离之和等于定值的点的轨迹；椭圆作为圆锥曲线的一种，可以从圆锥中斜截得来。那么第三个问题“椭圆将会到哪里去呢”？椭圆可以用来解决哪些问题。关于截口曲线为椭圆，生活中有哪些应用呢？

宇宙的存在形式

PPT的首页是美国俄亥俄州克利夫兰自然史博物馆的建筑，就是一个圆锥的截口曲线，以一种自然的数学美的姿态呈现。

历史上古罗马竞技场；

中国国家大剧院；

利用了椭圆的光学性质，这将是后面将会研究的问题。

实践应用

课堂小结

1.在历史顺序中感悟圆锥曲线的完备统一；

2.在探究发现中领略数学之美； 5

3.在交流学习中体会收获和遗憾；

本节课我们通过亲手操作实验，经历了圆锥的截口曲线“是什么”和“为什么”的探究过程，知道了同宗同源的三个圆锥曲线从哪里来；通过小组合作探究，明白了为什么圆锥的截口曲线是椭圆的。解决了椭圆是什么，椭圆从哪里来，椭圆要到哪里去的基本问题。

今天我们缘未尽，情未了。我在椭圆的左焦点，你在椭圆的右焦点，虽空间距离此消彼长，却总能默默倾听彼此的心跳。这是即将学习的椭圆的光学性质的普遍应用。再次谢谢同学们！

作业布置

1．实践作业：以小组为单位，通过合作实践，还能通过什么方式得到椭圆？

2．查找Dandelin截口曲线为双曲线的相关资料，并尝试用冰淇淋定理解决圆锥曲线的第二定义问题。

六．补充资料

2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（Apollonius，前262~前190）采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线：用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线．阿波罗尼奥斯曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”．他与欧几里得是同时代人，其巨著《圆锥曲线》与欧几里得的《几何原本》同被誉为古代希腊几何的登峰造极之作．事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果．

设圆锥轴截面母线与轴的夹角为α，截面和圆锥的轴的夹角为

，当截面不过顶点时，

（1）当

＝α时，即截面和一条母线平行时，交线是抛物线； （2）当α＜

＜时，即截面不和母线平行，且只和圆锥面的一叶相交时，交线是椭圆．特别地，当

＝22，即截面和圆锥面的轴垂直时，交线是圆．

（3）当0≤

＜α时，即截面不与母线平行，且和圆锥面的两叶都相交时，交线是双曲线．

在直角坐标系中，圆锥曲线的方程都是二元二次方程，因此，圆锥曲线又叫二次曲线．

我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行，太阳系其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上．如果这些行星运行速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行．人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵照这个原理．相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一物体的运动，不可能有任何其他的轨道了．因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式。

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开普勒行星三大定律是近代科学的重大突破，它不仅开创了天文学的新纪元，而且也是牛顿万有引力的根源所在，由此可见，圆锥曲线不仅仅是一个数学图形，更是宇宙的存在形式． 于是，从天文学意义上，对圆锥曲线的处理方法开始有了一些小变动．譬如，1579年蒙蒂（Guidobaldo del Monte,1545~1607）将椭圆定义为：到两个焦点距离之和为定长的动点的轨迹,从而改变了过去对圆锥曲线的定义.17世纪，随着射影几何的开始，本来为画家提供帮助的投射和截影的方法，与圆锥曲线有着天然的联系，也被用来研究圆锥曲线，并得出了一些关于圆锥曲线的特殊的定理． 笛卡尔解析几何的创立，使人们对圆锥曲线的认识进入了一个全新的阶段．

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