习题2.1名师教学实录

§2.1

曲线与方程

学习目标

1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.理解方程的曲线和曲线的方程的概念.3.了解用坐标法研究几何问题的常用思路与方法.4.掌握根据已知条件求曲线方程的方法．

知识点一

曲线的方程和方程的曲线的概念

在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．

知识点二

坐标法思想及求曲线方程的步骤

思考

曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？试举例说明．

答案

不能．还要验证以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是否都在曲线上．例如曲线C为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与方程“x2＋y2＝4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2＋y2＝4. 梳理

(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．

(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．

(3)求曲线的方程的步骤

如果曲线l上的y)＝0，则

(1)曲线l的方程是F(x，y)＝0.(×) (2)方程F(x，y)＝0的曲线是l.(×) (3)坐标不满足方程F(x，y)＝0的点不在曲线l上．(√) (4)坐标满足方程F(x，y)＝0的点在曲线l上．(×) 点的坐标满足方程F(x，

类型一

曲线的方程与方程的曲线解读

例1

1．方程x+|y－1|=0表示的曲线是（ ）

A．

B．

C．

D．

2．

(1)方程(x＋y－2)·x2＋y2－9＝0表示的曲线是(

) A．一个圆和一条直线

B．半个圆和一条直线

C．一个圆和两条射线

D．一个圆和一条线段

(1)B

(2)c x＋y－2＝0，(x＋y－2)·x＋y－9＝0变形为x＋y－9＝0或22表示以原点为圆心，3为半x＋y－9≥0.2222径的圆和直线x＋y－2＝0在圆x2＋y2－9＝0外面的两条射线．故选C.

反思与感悟

(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性．

(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．

类型二

求曲线的方程

命题角度1

直接法求曲线的方程

例2

一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍．求动点P的轨迹方程．

考点

求曲线方程的方法

题点

直接法求曲线方程

解

设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|，

则|8－x|＝2x－22＋y－02，

化简，得3x2＋4y2＝48，

故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48. 反思与感悟

直接法求动点轨迹的关键及方法

(1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件．

(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明．

特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化．

命题角度2

相关点法求曲线的方程

例3

动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程．

考点

求曲线方程的方法

题点

相关点法求曲线方程

解

设P(x，y)，M(x0，y0)，

3，x＝x＋2因为P为MB的中点，所以yy＝2，00

x0＝2x－3，即

y＝2y，0

又因为M在曲线x2＋y2＝1上，

222所以x20＋y0＝1，所以(2x－3)＋4y＝1. 所以点P的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.

反思与感悟

相关点法求解轨迹方程的步骤

(1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0)．

x0＝fx，y，(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系

y0＝gx，y.

(3)代入相关动点的轨迹方程．

(4)化简、整理，得所求轨迹方程．

命题角度3 定义法求曲线的方程

例3．已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点．若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(

) A．双曲线

B．椭圆

C．圆

D．抛物线

解析

由已知知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．

定义法求轨迹方程及其注意点

(1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．

(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．

总结：

1.曲线的方程和方程的曲线

2.求曲线方程的方法：坐标法：①建系，②设动点，③限制条件，④代入，⑤化简．简记为：建、设、限、代、化．

直接法、相关点法、定义法

作业：定时训练10

跟踪训练4

已知圆C：x2＋(y－3)2＝9.过原点作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程．

考点

求曲线方程的方法

题点

相关点法求曲线方程

解

设P(x1，y1)，Q(x，y)，

x＝2，由题意，得yy＝2，1x1

x1＝2x，即

y＝2y.1

2又因为点P在圆C上，所以x21＋(y1－3)＝9，

3y－2＝9，

所以4x2＋42

39y－2＝(x≠0). 即x2＋24定时作业：

1．若命题“曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是真命题，则下列命题为真命题的是(

) A．方程f(x，y)＝0所表示的曲线是曲线C

B．方程f(x，y)＝0所表示的曲线不一定是曲线C

C．f(x，y)＝0是曲线C的方程

D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上

考点

曲线与方程的概念

题点

点在曲线上的应用

答案

B 解析

“曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，但以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点不一定在曲线C上，故A，C，D都为假命题，B为真命题．

2．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)(

) A．在直线l上，但不在曲线C上

B．在直线l上，也在曲线C上

C．不在直线l上，也不在曲线C上

D．不在直线l上，但在曲线C上

考点

曲线与方程的概念

题点

点在曲线上的应用

答案

B 解析

将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M既在直线l上又在曲线C上，故选B. 3．等腰三角形底边的两个顶点分别是B(2,1)，C(0，－3)，则另一个顶点A的轨迹方程是(

) A．x－2y＋1＝0(x≠0)

C．x＋2y＋1＝0(y≠1)

考点

求曲线的方程的方法

题点

直接法求曲线方程

答案

D 解析

设A(x，y)，依题意，知|AB|＝|AC|，

所以x－22＋y－12＝x2＋y＋32，

化简得x＋2y＋1＝0. 又因为A，B，C三点不能共线，所以x≠1，故选D. B．y＝2x－1 D．x＋2y＋1＝0(x≠1)

4．到直线4x＋3y－5＝0的距离为1的点的轨迹方程为________________．

考点

求曲线的方程的方法

题点

几何法求曲线方程

答案

4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0 解析

设该点坐标为(x，y)，则

|4x＋3y－5|＝1，即|4x＋3y－5|＝5，

5∴所求轨迹方程为4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0. →5．M为直线l：2x－y＋3＝0上的一动点，A(4,2)为一定点，又点P在直线AM上运动，且AP→＝3PM，求动点P的轨迹方程．

考点

求曲线方程的方法

题点

坐标转移法求曲线方程

4x＝4＋3x0，解

设点M，P的坐标分别为M(x0，y0)，P(x，y)，由题设及向量共线条件可得4y＝3y0＋2，

4，x＝4x－3所以4y－2y＝，300

因为点M(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，

4x－44y－2所以2×－＋3＝0，

33即8x－4y＋3＝0，

从而点P的轨迹方程为8x－4y＋3＝0.

1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．

2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．

一、选择题

1．方程|x|＋|y|＝|xy|＋1表示的曲线是(

) A．一条直线

C．一个圆

考点

曲线和方程的概念

B．一个正方形

D．四条直线

题点

由方程研究曲线的对称性

答案

D 解析

由|x|＋|y|＝|xy|＋1，得(|x|－1)(|y|－1)＝0，即x＝±1或y＝±1，因此该方程表示四条直线．

2．已知0≤α<2π，点P(cos α，sin α)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为(

) π5π5πππA.

B.π

C.或

D.或

333336考点

曲线和方程的概念

题点

点在曲线上的应用

答案

C 1解析

由(cos α－2)2＋sin2α＝3，得cos α＝. 2又因为0≤α<2π，

π5所以α＝或α＝π.

333．方程|x|－|y|＝0表示的图形是下图中的(

)

考点

曲线和方程的概念

题点

由方程研究曲线的对称性

答案

C 解析

由|x|－|y|＝0知，y＝±x，即表示一、三象限角平分线或二、四象限角平分线．

4．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，若动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的面积为(

) A．9π

B．8π

C．4π

D．π

考点

曲线与方程的意义

题点

曲线与方程的综合应用

答案

C 解析

设P(x，y)，∵|PA|＝2|PB|，

∴(x＋2)2＋y2＝4(x－1)2＋4y2，∴(x－2)2＋y2＝4，

∴点P的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，

∴所围成的面积S＝π·22＝4π.

5．在平面直角坐标系中，动点P(x，y)到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P的轨迹为曲线W，则有下列命题：

①曲线W关于原点对称；

②曲线W关于x轴对称；

③曲线W关于y轴对称；

④曲线W关于直线y＝x对称．

其中真命题的个数是(

) A．1

B．2

C．3

D．4 考点

曲线与方程的意义

题点

曲线与方程的综合应用

答案

A 6．过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|等于(

) A．26

B．8

C．46

D．10 考点

求曲线方程的方法

题点

几何法求曲线方程

答案

C →→→→解析

由已知，得AB＝(3，－1)，BC＝(－3，－9)，则AB·BC＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，→→所以AB⊥BC，即AB⊥BC，故过三点A，B，C的圆以AC为直径，得其方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，令x＝0得(y＋2)2＝24，解得y1＝－2－26，y2＝－2＋26，所以|MN|＝|y1－y2|＝46，故选C. 7．已知两点A(2，0)，B(－2，0)，点P为平面内一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为→→→Q，且PA·PB＝2PQ2，则动点P的轨迹方程为(

) A．x2＋y2＝2

C．x2－2y2＝1

考点

求曲线方程的方法

题点

定义法求曲线方程

答案

B 解析

设动点P的坐标为(x，y)，

则点Q的坐标为(0，y)，

→→PQ＝(－x,0)，PA＝(2－x，－y)，

→→→PB＝(－2－x，－y)，PA·PB＝x2－2＋y2. →→→由PA·PB＝2PQ2，得x2－2＋y2＝2x2，

所以所求动点P的轨迹方程为y2－x2＝2. 二、填空题

8．方程(x－1)2＋y－2＝0表示的是____________．

B．y2－x2＝2 D．2x2－y2＝1

考点

讨论方程的曲线类型

题点

其他类型的曲线与方程

答案

点(1,2)

解析

由(x－1)2＋y－2＝0，知(x－1)2＝0且y－2＝0，即x＝1且y＝2，所以(x－1)2＋y－2＝0表示的是点(1,2)．

9．已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的一动点，过点P作l的垂线，垂足为Q，且→→→→QP·QF＝FP·FQ，则动点P的轨迹C的方程是________．

考点

求曲线方程的方法

题点

坐标转移法求曲线方程

答案

y2＝4x(x≥0) 解析

设点P(x，y)，则Q(－1，y)．

→→→→

由QP·QF＝FP·FQ，

得(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，

所以2(x＋1)＝－2(x－1)＋y2，

化简得y2＝4x(x≥0)．

10．若点A(1,1)，B(2，m)都在方程ax2＋xy－2＝0表示的曲线上，则m＝________. 考点

曲线与方程的概念

题点

点在曲线上的应用

答案

－1 解析

∵A(1,1)，B(2，m)都在方程ax2＋xy－2＝0表示的曲线上，

a＋1－2＝0，a＝1，∴∴

4a＋2m－2＝0，m＝－1.

11．点A(1，－2)在曲线x2－2xy＋ay＋5＝0上，则a＝________. 考点

曲线与方程的概念

题点

点在曲线上的应用

答案

5 解析

由题意可知点(1，－2)是方程x2－2xy＋ay＋5＝0的一组解，即1＋4－2a＋5＝0，

解得a＝5. 三、解答题

12．已知A(－3,0)，B，C两点分别在y轴和x轴上运动，点P为BC延长线上一点，并且满→→→1→足AB⊥BP，BC＝BP，试求动点P的轨迹方程．

2考点

求曲线方程的方法

题点

直接法求曲线方程

解

设P(x，y)，B(0，y′)，C(x′，0)，

→→则BC＝(x′，－y′)，BP＝(x，y－y′)，

1→1→由BC＝BP，得(x′，－y′)＝(x，y－y′)，

22x即x′＝，y′＝－y，∴B(0，－y)，

2→→又A(－3,0)，∴AB＝(3，－y)，BP＝(x,2y)，

→→→→由AB⊥BP，得AB·BP＝0，∴3x－2y2＝0，

3即动点P的轨迹方程为y2＝x. 2

13．过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．

考点

求曲线方程的方法

题点

坐标转移法求曲线方程

解

如图所示，设点A(a,0)，

B(0，b)，M(x，y)．

因为M为线段AB的中点，

所以a＝2x，b＝2y，

即A(2x,0)，B(0,2y)．

因为l1⊥l2，所以kAP·kPB＝－1. 而kAP＝kPB＝4－0(x≠1)，

2－2x4－2y22－y，所以·＝－1(x≠1)，

2－01－x1整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)．

因为当x＝1时，A，B的坐标分别为(2,0)，(0,4)，

所以线段AB的中点坐标是(1,2)，

它满足方程x＋2y－5＝0. 综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0. 四、探究与拓展

x2y214．方程＋＝1表示的图形是(

) |x||y|A．一条直线

B．两条平行线段

C．一个正方形

D．一个正方形(除去四个顶点) 考点

讨论方程的曲线类型

题点

其他类型的曲线与方程

答案

D 解析

由方程可知，方程表示的图形关于坐标轴和原点对称，且x≠0，y≠0.当x＞0，y＞0时，方程可化为x＋y＝1，表示第一象限内的一条线段(去掉两端点)，因此原方程表示的图形是一个正方形(除去四个顶点)，故选D. 15．已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆O：x2＋y2＝1，M为直角坐标平面内一动点，过点M作圆O的切线，切点为N，若|MN|与|MQ|的比值等于常数λ(λ＞0)，求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．

考点

求曲线方程的方法

题点

直接法求曲线方程

解

连接ON，OM，易知ON⊥MN，设M(x，y)．

∵圆O的半径是1，

∴|MN|2＝|OM|2－|ON|2＝|OM|2－1. |MN|由题意，＝λ，

|MQ|∴|MN|＝λ|MQ|，

即x2＋y2－1＝λx－22＋y2，

整理得(λ2－1)(x2＋y2)－4λ2x＋(1＋4λ2)＝0. ∵λ＞0，

∴当λ＝1时，

5方程化为x＝，该方程表示一条直线；

42λ1＋3λ当λ≠1时，方程化为x－λ2－12＋y2＝2，

λ－1222λ1＋3λ2该方程表示以λ2－1，0为圆心，以2为半径的圆．

|λ－1|22