3.4 生活中的优化问题举例第一课时导学案

《生活中的优化问题举例》教学设计

选自人教版选修1-1 3.4节

东莞市第二高级中学 金汉

一．内容和内容解析

“优化问题”是现实生活中常碰到的问题，比如空间最大、距离最小、费用最低、用料最省、效率最高等。而解决这些问题的本质就是建立函数模型，探寻函数的最值或值域的求解问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决。本节课的内容主要是应用高中阶段所学几类基本函数来解决生活中熟悉的优化问题，所选例题贴近学生生活，按照从易到难循序渐进的原则来设计问题，通过和学生共同探讨，寻求解决问题的方法和规律，使学生进一步体会生活中的数学和数学的应用价值。

二．目标和目标解析

能应用高中阶段所学的几类基本初等函数以及导数工具解决生活中的应用问题，培养学生数学知识的应用意识。

1.熟悉生活中常遇到的

“容量最大”、“利润最大”等优化问题的求解方法. 2.掌握函数应用问题求解的一般步骤：

(1)读题：理解题意,找出研究对象的主要关系；

(2)建模：把主要关系抽象成数学问题,将文字语言转化为数学符号语言: (3)求解：化归为常规函数问题求最值问题，选择合适的数学方法求解；

(4)反馈：对结果进行验证，作出解释，最后将结果应用于现实。

三．教学问题诊断

利用导数这个工具学生还不是很熟悉和习惯。学生将实际问题转化为数学问题的能力还有所欠缺。引导学生深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化。

四．教学支持条件分析

多媒体教学，采取探析归纳，讲练结合的教学方法

五．教学过程设计

(一)预习检查、总结疑惑

检查落实学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

（二）情景导入、展示目标

教师：我们知道，汽油的消耗量W（单位：L）与汽车的速度v（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量W是汽车速度v的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：

(1)是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？(2)

“汽油的使用率最高”的含义是什么？

通过实际问题引发学生思考，进而导入本节课，并给出本节目标。

（三）合作探究、精讲点拨

(1)提出概念

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些应用问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的应用问题．

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(2)引导探究

例1.海报版面尺寸的设计

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm,如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？

x

分析：已知版心的面积，你能否设计出版心的高，求出版心的宽，从而列出海报四周的面积来？

128128解:设版心的高为xdm,则版心的宽为dm,此时四周空白面积为S(x)(x4)(2)128

xx5125122x8,x0求导数,得S'(x)22

xx512128128令：S'(x)220解得：x16，x16于是宽为：8

（舍）xx16当x0,16时，s'x0；当x16,时，s'x0

因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。

解法二：由解法(一)得

512128当且仅当2x,即x16(x0)时S取最小值232872此时y=8

x16答：应使用版心宽为8dm，长为16dm，四周空白面积最小

例2.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

(1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？

(2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

背景知识：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是

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0.8r2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm

问题：(1)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

(2)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是

r3432yfr0.2r0.8r0.8r2,0r6

33令fr0.8(r22r)0 解得 r2（r0舍去）

当r0,2时，fr0；当r2,6时，fr0．

当半径r2时，fr0它表示fr单调递增，即半径越大，利润越高；

当半径r2时，fr0

它表示fr单调递减，即半径越大，利润越低．

(1)半径为2cm 时，利润最小，这时f20，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．[来源:学.科.网]

(2)半径为6cm时，利润最大．

探究2.换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？

由图像知：当r3时，f30，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当r3时，利润才为正值．

当r0,2时，fr0，fr为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm时，利润最小．

例3.磁盘的最大存储量问题

计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特(bit)。为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。

问题：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域．

(1)是不是r越小，磁盘的存储量越大？

(2)r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？

解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。

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设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于m，且最外面的磁道不Rr存储任何信息，故磁道数最多可达。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，m2r最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达。所以，磁盘总存储量

nRr2r2r(Rr)

×f(r)mmnn

(1)它是一个关于r的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大．(2)为求f(r)的最大值，计算f(r)0．f(r)2R2r

mn令f(r)0，解得rR

2当rRR时，f(r)0；当r时，f(r)0．[来源:学。科。网]

22R2R2因此r时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为

2mn4探究3.如果每条磁道存储的信息与磁道的长度成正比，那么如何计算磁盘的存储量？此时，是不是r越小，磁盘的存储量越大？

由学生结合已有的知识，提出自己的看法，同伴之间进行交流。老师及时点评指导，最后归纳、总结，讲评。

六．目标检测设计

练习：1.在边长为60cm的正

方形铁皮的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底箱子,箱底边长为多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?

2.圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？

变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？

3.在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)C(x)称为利润函数，记为P(x)。

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(1)如果C(x)106x30.003x25x1000，那么生产多少单位产品时，边际C(x)最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量) (2)如果C(x)50x10000，产品的单价P1000.01x，那么怎样定价,可使利润最大？

变式：已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C1004q,价格p与产量q的函1数关系式为p25q．求产量q为何值时，利润L最大？

8分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．

11解：收入Rqpq25q25qq2，

8811利润LRC25qq2(1004q)q221q100(0q100)

881Lq21

41令L0，即q210，求得唯一的极值点q84

4答：产量为84时，利润L最大

七．课堂总结[来源:学_科_网Z_X_X_K]

导数在实际生活中的应用方向：主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1.与几何有关的最值问题；2.与物理学有关的最值问题；3.与利润及其成本有关的最值问题；4.效率最值问题。

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．

利用导数解决实际问题的基本思路：

优化问题

用函数表示的数学问题

解决数学模型

优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

八．设计评价

本节课主要是围绕利用导数这个工具解决实际应用问题中的优化问题，培养学生自主动手动脑探究，研究的能力，提高数学技能。

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