小结教案设计（一等奖）

空间角的向量法复习小结（2）

执行者：周培良

1.理解直线与平面所成角的概念．

2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题．

3．体会用空间向量解决立体几何问题的三步曲．

知识复习回顾

空间角及向量求法

角的分类

向量求法

设两异面直线所成的角为θ，它们的异面直线所成的角

方向向量为a，b，则cos θ＝|cos〈a，|a·b|b〉|＝

|a||b|设直线l与平面α所成的角为θ，l直线与平面所成的角

的方向向量为a，平面α的法向量为|a·n|n，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝

|a||n|设二面角α-l-β的平面角为θ，平面α，二面角

β的法向量分别为n1，n2，则|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|＝

π0，，故cos θ＝|cos〈a，b〉|. (1)由于直线a、b所成角θ∈2π0，，由图形知〈a，m〉与θ的余角相等或互补，故(2)直线a与平面α所成角θ∈2sin θ＝|cos〈a，m〉|.

(3)二面角α-l-β的大小θ∈[0，π]，〈n，m〉∈[0，π]，但两角可能相等或互补，因此需借助图形进行判断，判断后再解释结论．

例题

求两条异面直线所成的角，线面所成角，二面角

例1如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，1AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝AD＝1，

2（1）求PB与CD所成的角．

（2）求PB 与平面PCD所成角的正弦值；

|n1·n2|

|n1||n2|[0，π]

范围

0，π

20，π

2

（3）求二面角B-PC-D的大小；

【解】

（1）建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)，

→→所以BP＝(－1，0，1)，DC＝(1，－1，0)，

→→－1BP·DC1→→cos〈BP，DC〉＝＝＝－，

2→→2·2|BP||DC|→→所以〈BP，DC〉＝120°，故PB与CD所成的角为60°. （2）

P(0，0，1)，B（1,0,0）C（1,1,0）D（0,2,0）CD(1,1,0),PC(1,1,1)

nCDxy0设平面PCD法向量为n(x,y,z)则，得n(1,1,2)

nPCxyz0设PB 与平面PCD所成角θ

则sincosPB,nPBnPBn13

6263

6所以PB 与平面PCD所成角的正弦值为（3）PB(1,0,01),PC(1,1,1)设平面PBC法向量为m(x,y,z)

mPBxz0则，得m(1,0,1)。

mPCxyz0平面PCD法向量为n(1,1,2)

所以cosm,nmnmn123

226由图可知，所求二面角为钝角，所以二面角P-BC-D的大小为150°

课堂练习

1.(2017·高考全国卷Ⅰ)

如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°. (1)证明：平面PAB⊥平面PAD；

(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A－PB－C的余弦值．

（3）在（2）的条件下，在直线PC上是否存在一点M,使得BM与平面PAB所成角45°，并说明理由。

【解】

(1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.

由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD.

又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.

(2)

在平面PAD内作PF⊥AD，垂足为F.

由(1)可知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PF，可得PF⊥平面ABCD.

→→以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，|AB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.

由(1)及已知可得AB22，

，0，0，P0，0，2222，1，0，C－，1，0.

2222→22→→→所以PC＝－，1，－，CB＝(2，0，0)，PA＝，0，－，AB＝(0，1，0)．

2222设n＝(x1，y1，z1)是平面PCB的法向量，则

22→－x1＋y1－z1＝0，PC＝0，n·2即2

→CB＝0，n·2x1＝0.可取n＝(0，－1，－2)．

→PA＝0，2x2－2z2＝0，m·2设m＝(x2，y2，z2)是平面PAB的法向量，则即2

→AB＝0，m·y2＝0.可取m＝(1，0，1)．

n·m3则cos〈n，m〉＝＝－.

|n||m|3所以二面角A－PB－C的余弦值为－3. 3

求异面直线夹角的方法

(1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解．

→→(2)向量法：在两异面直线a与b上分别取点A、B和C、D，则AB与CD可分别为a、b→→|AB·CD|的方向向量，则cos θ＝.

→→|AB||CD|运用向量法常有两种途径：

①基底法

在一些不适合建立坐标系的题型中，我们经常采用取定基底的方法，这是小技巧．在由a·b公式cos〈a，b〉＝求向量a、b的夹角时，关键是求出a·b及|a|与|b|，一般是把a、b|a||b|用基向量表示出来，再求有关的量．

②坐标法

根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单．

向量法求线面角的基本步骤

(1)分析图形关系，建立空间直角坐标系．

(2)求出直线的方向向量a和平面的法向量n.

(3)求出夹角〈a，n〉．

(4)判断直线和平面所成的角θ和〈a，n〉的关系，求出角θ.

利用坐标法求二面角的步骤

设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的大小，如图．用坐标法解题的步骤如下：

(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系．

(2)求法向量：在建立的坐标系下求两个平面的法向量n1，n2.

|n1·n2|(3)计算：求n1与n2所成锐角θ，cos θ＝.

|n1||n2|(4)定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ.

知识结构

深化拓展

1.空间角的各角取值范围：异面直线所成角的范ππ围：0，；线面角的范围：0，；二面角的22范围：[0，π]．

2．线面角涉及斜线的射影，故找出平面的垂线是解题的基本思路．用向量法求解斜线与平面所成角的问题，关键是确定斜线的一个方向向量a和平面的一个法向量b，再通过线面角的向量公式sin θ＝|cos〈a，b〉|＝

|a·b|(θ是斜线与平面所成的角)|a||b|求解，要特别注意a和b的夹角与线面角的关系．

3．利用向量法求二面角的大小时，应注意二面角的大小与两法向量夹角大小的关系，它们之间可能相等，也可能互补，故应在分清关系的情况下求解，避免出现错误.

课后练习

(2016·高考全国卷Ⅲ)

如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．

(1)证明MN∥平面PAB；

(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．

2【解】

(1)证明：由已知得AM＝AD＝2.取BP的中点T，连接AT，TN.

31由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.

2又AD∥BC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN∥平面PAB.

(2)取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，且AE＝AB2－BE2＝

BCAB－2＝5. 22

→以A为坐标原点，AE的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知，P(0，0，4)，M(0，2，0)，C(5，2，0)，

N5→，1，2，PM＝(0，2，－4)，

255→→PN＝，1，－2，AN＝，1，2.

222y－4z＝0，→PM＝0，n·设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即5可取n＝(0，→x＋y－2z＝0，PN＝0，n·2→|n·AN|8585→2，1)．于是|cos〈n，AN〉|＝＝，则直线AN与平面PMN所成角的正弦值为. →2525|n||AN|