1.4.3 含有一个量词的命题的否定教学实录

1．4.3

含有一个量词的命题的否定

一、基础达标

1．下列命题中，正确的全称命题是(

) A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0 B．菱形的两条对角线相等

C．∃x，x2＝x

D．对数函数在定义域上是单调函数

答案

D 解析

A中含有全称量词“任意”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，是假命题；B、D在叙述上没有全称量词，实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等；C是特称命题，所以选D. 2．下列命题既是特称命题，又是真命题的是(

) A．两个无理数的和必是无理数

1B．存在一个实数x，使＝0 xC．至少有一个实数x，使x2<0 D．有个实数的倒数等于它本身

答案

D 1解析

A项为全称命题；B项x是不能为零的，故B假；C项，x2≥0，故不存在实数x使x2<0；D项，当实数为1或－1时可满足题意，故D正确．

3．下列特称命题是假命题的是(

) A．存在实数a，b，使ab＝0；

B．有些实数x，使得|x＋1|<1；

C．存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；

1D．有些实数x，使得(2)x<0. 答案

D 解析

A真命题；B真命题；C真命题；D假命题．

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4．命题“一次函数都是单调函数”的否定是(

) A．一次函数都不是单调函数

B．非一次函数都不是单调函数

C．有些一次函数是单调函数

D．有些一次函数不是单调函数

答案

D 解析

命题的否定只对结论进行否定，“都是”的否定是“不都是”，即“有些”．

5．(2013·重庆，理)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为________．

(1)对任意x∈R，都有x2＜0 (2)不存在x∈R，都有x2＜0 (3)存在x0∈R，使得x20≥0 (4)存在x0∈R，使得x20＜0 答案

(4) 解析

全称命题的否定是特称命题．

a6．已知命题p：“a＝1”是“∀x>0，x＋≥2”的充要条件，命题q：∀x∈R，xx2＋x＋1>0.则下列结论中正确的是________．

(1)命题“p∧q”是真命题

(2)命题“p∧綈q”是真命题

(3)命题“綈p∧q”是真命题

(4)命题“綈p∨綈q”是假命题

答案

(3) a1解析

a＝1⇒x＋x＝x＋x≥21x×x＝2，

a显然a＝2时也能推出“∀x>0，x＋x≥2”成立，

a所以“a＝1”是“∀x>0，x＋x≥2”的充分不必要条件，

故p是假命题，而q是真命题，故(3)正确．

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7．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：

(1)三角形的内角和为180°；

(2)每个二次函数的图象都开口向下；

(3)存在一个四边形不是平行四边形．

解

(1)是全称命题且为真命题．

命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°. (2)是全称命题且为假命题．

命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．

(3)是特称命题且为真命题．

命题的否定：任意一个四边形都是平行四边形．

二、能力提升

8．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．

答案

存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3 解析

由定义知命题的否定为“存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3”．

9．写出命题“每个函数都有奇偶性”的否定________．

答案

有些函数没有奇偶性

解析

命题的量词是“每个”，即为全称命题，因此否定是特称命题，用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论．故应填：有些函数没有奇偶性．

10．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________．

答案

[3,8) 解析

因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3. 又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8，

故实数m的取值范围是[3,8)．

11．命题p是“对某些实数x，有x－a>0或x－b≤0”，其中a、b是常数．

(1)写出命题p的否定；

(2)当a、b满足什么条件时，命题p的否定为真？

解

(1)命题p的否定：对任意实数x，有x－a≤0且x－b>0.

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x－a≤0，(2)要使命题p的否定为真，需要使不等式组的解集不为空集，

x－b>0通过画数轴可看出，a、b应满足的条件是b0成立”为真，试求实数a的取值范围．

解

由已知得綈p：∀x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a≤0成立．

∴设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，

f1≤0则，

f2≤01＋2a＋2－a≤0∴，解得a≤－3，

4＋4a＋2－a≤0∵綈p为假，∴a>－3，即a的取值范围是(－3，＋∞)．

三、探究与创新

13．已知命题p：∀x∈R,4x－2x＋1＋m＝0，若綈p是假命题，求实数m的范围．

解

∵綈p是假命题，

∴p是真命题．

也就是∀x∈R，有m＝－(4x－2x＋1)，

令f(x)＝－(4x－2x＋1)＝－(2x－1)2＋1，

∴对任意x∈R，f(x)≤1. ∴m的取值范围是(－∞，1]．

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