习题3.2课堂实录及点评

《空间向量在立体几何中的应用》教学设计

一.教学目标

（一）知识与技能

1.理解并会用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值；

2.理解并会用空间向量解决平行与垂直问题. 3.对照传统法与向量法，体会难易程度. （二）过程与方法

1.体验用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值的过程；

2.体验用空间向量解决平行与垂直问题的过程．

（三）情感态度与价值观

1.通过理解并用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值，用空间向量解决平行与垂直问题的过程，让学生体会几何问题代数化，领悟解析几何的思想；

2.培养学生向量的代数运算推理能力；

3.培养学生理解、运用知识的能力．

二.教学重、难点

重点：用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值及解决平行与垂直问题．

难点：用空间向量求二面角的余弦值．

三.教学方法：情景教学法、启发式教学法、练习法和讲授法．

四.教学用具：电脑、投影仪．

五.教学设计

（一）新课导入

1.提问学生：

（1）怎样找空间中线线角、线面角和二面角的平面角？

（2）能否用代数运算来解决平行与垂直问题？

（二）新课学习

1.用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值. （1）设l1,l2是两条异面直线，A,B是l1上的任意两点，C,D是直线l2上的任意ABCDABCD两点，则l1,l2所成的角的余弦值为. （2）设AB是平面的斜线，且B,BC是斜线AB在平面内的射影，则ABBCABBC斜线AB与平面所成的角的余弦值为.设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则AB与平面所成的角的余弦值为ABnABn.

1

（3）设n1,n2是二面角l的面,的法向量，则平面角或补角的余弦值. 1：线线成交问题

n1n2n1n2就是二面角的在棱长为a的正方体ABCDA'B'C'D'中，EF分别是BC,A'D'的中点，

求直线EF与CD1所成角的余弦值.

分析：启发学生找出三条两两垂直的直线AB,AD,AA´，建立空间直角坐标系A-xyz，根据已知找出相关点的坐标，然后写出相关向量的坐标，并进行运算就可以得到所求的结果. a解：（1）如图建立坐标系，则A'(0,0,a),C(a,a,0),D(0,a,0),E(a,,0). 2a'AC(a,a,a),DE(a,,0). 2cosAC,DE''ACDE'ACDE15. 1515. 15'故AC与DE所成的角的余弦值为

2.利用向量向量解决平行与垂直问题. 在棱长为a的正方体ABCDA'B'C'D'中，求证DB1ABD1

分析：启发学生找出三条两两垂直的直线CA,CB,CC1，建立空间直角坐标系C-xyz，根据已知找出相关点的坐标，然后写出相关向量的坐标，并进行运算就可以得到两条直线垂直或平行.

解：∵正方体ABCDA'B'C'D'中,底面三边长AC＝1，BC＝1，AB＝1，∴AC、BC、C1C两两垂直，如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0,0，0），A（1,0，0），C1（0,0，1），B（0,1，

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0），B1（0,1，1），D（1，1,1）

∵DB1＝（1，1,1），AB＝（1,1，0），∴AD=(-1,0,1)，平面法向量m=（1，1，1），m=DB1∴ DB1平面ABD1.

引导学生归纳：

（1）垂直问题转化为：判定空间向量的数量积是否为零；

（2）平行问题转化为：面面平行线面平行线线平行.

课堂练习：

2.在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3,BC4,AB5,AA14, （1）求证ACBC1;（2）在AB上是否存在点D使得AC1CD?

（3）在AB上是否存在点D使得AC1//平面CDB1.

参考答案：

C1

A1

C A Z B1

x D B y 解：直三棱柱ABCA1B1C1，AC3,BC4,AB5,AC,BC,CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA,CB,CC1分别为x轴y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则C(0,0,4),A(3,0,0),C1(0,0,4)，B(0,4,0),B1(0,4,4). （1）AC(3,0,0),BC1(0,4,4)，ACBC10,ACBC1

ACBC. （2）假设在AB上存在点D，使得AC1CD，则ADAB(3,4,0)

其中01，则D(33,4,0)，于是CD(33,4,0)由于AC1(3,0,4)，且AC1CD. 所以990得1，所以在AB上存在点D使得AC1CD，且这时点D与点B重合. （3）假设在AB上存在点D使得AC1//平面CDB1，则ADAB

(3,4,0)3

其中01则D(33,4,0)，B1D(33,44,4)又BC(0,4,4).

1由于，,AC//平面CDB1，所以存在实数AC1(3,041)m,n,使AC1mB1DnBC1成立，m(33)3,m(44)4n0,4m4n4,所以1，所以在AB上存在点D使得AC1//平面CDB1，且D使AB的中点. 2

引导学生感悟：

空间向量有一套良好的运算性质，它可以把几何图形的性质转化为向量运算，实现了数与形的结合，在解决立体几何的夹角、平行与垂直等问题中体现出巨大的优越性.

（二）课外作业 1.如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB=90°，CB=1,CA=3, AA1=6,M为侧棱CC1上一点, AMBA1．

（1）求证: AM平面A1BC；

ACB（2）求二面角B－AM－C的大小；

M

C

A B

2.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝2CB＝AB. 2(1)证明：BC1∥平面A1CD；

(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．

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