1.2.1 充分条件与必要条件第一课时教学实录

四种命题与充分条件和必要条件

一. 本周教学内容

四种命题与充分条件和必要条件

1. 四种命题

（1）学习目标

理解四种命题及其关系并初步掌握反证法。

（2）重点、难点

本节重点是四种命题的关系

（3）知识讲解

①

四种命题

原命题以及原命题的逆命题、否命题，逆否命题称为四种命题，其中原命题、否命题和逆否命题都是相对于原命题而言的，同时它们与原命题的关系又是相互的，即如果p是q的逆命题，那么q也是p的逆命题，也称p与q是互逆命题，否命题与逆否命题类似。四种命题之间的关系如下：

原命题

若p则q互否互逆互为逆命题

若q则p逆否互否逆为互互逆否p则 q否命题若 q则 逆否命题若 p

互逆命题和互否命题都不是等价命题而互为逆否关系的命题是等价命题。即原命题与它的逆命题，否命题不一定同真同假，但原命题与它的逆否命题一定同为真命题或同为假命题。

②

反证法

反证法是一种间接证法，它通过证明一个与原命题具有矛值关系的命题不真，从而得到原命题为真。

用反证法证明命题的步骤是：

<1> 假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；

<2> 从这个假设出发，经过合理的推导，得出矛值；

<3> 由矛值判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

2. 充要条件

（1）学习目标

理解并会使用推断符号“”，理解充分条件与必要条件的意义。

（2）重点、难点

本节重点与难点是关于充要条件的判断。

（3）知识讲解

p与q的关系有以下四种

\p，即p是q的充分不必要条件。

①

pq，q\q，即p是q的必要不充分条件。

②

qp，p③

pq，qp，即p是q的充要条件。

\q，q\p，即p是q的既不充分也不必要条件。

④

p

【例题讲解】

[例1] 已知命题：“如果a、b全是偶数，那么a+b也一定是偶数”，试写出它的逆命题，

否命题和逆否命题，并判断它们是真命题还是假命题。

解：逆命题：“如果a+b是偶数，那么a、b全是偶数”，假命题。

否命题：“如果a、b不全是偶数，那么a+b不是偶数”，假命题。

逆否命题：“如果a+b不是偶数，那么a、b不全是偶数”，真命题。

说明：

（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；

（2）同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；

（3）交换原命题的条件和结论并同时否定，所得的命题是逆否命题。

（4）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题和它的逆否命题是等价命题，逆命题和否命题是等价命题。

[例2] 用反证法证明：已知两个一元二次方程xabxab0，x2(ab)xab

20，其中a2，b2，求证：这两个方程无公共根。

证明：假设这两个方程有公共根x1，则有

2x1abx1ab0①

2x1(ab)x1ab0②

由

①－②得

(abab)x1(abab)0

(abab)(x11)0 ③

ababbaba(1)b(1)

由

ababa2222ab且a2，b2，则

10，10

22ba故

a(1)b(1)0 又由③得

x110

即

x11

代入①得

221abab0

即

(a1)(b1)0

这与a2，b2矛值，所以假设不成立，两方程无公共解。

[例3] 判断下列命题中，p是q的什么条件。

（1）p: x2y2； q: xy或xy；

（2）p: x1，y2，q: xy3；

（3）p: x25，q:

x1或x5；

（4）p: a、b、c是不全相等的实数，且xabc，yb2ca，zcab，

q:

x、y、z中至少有一个大于0。

解：

\p，即p是q的充分不必要条件。

（1）pq，但q22\q并且（2）考虑逆否关系p:x1或y2，q:xy3，由p\p，则q\p，并且p\q即p是q的既非充分也非必要条件。

q\p即p是q的充分不必要条（3）p:3x7，q:xR，则pq，但，q件。

（4）由xyz1[(ab)2(bc)2(ca)2]则xyz0

即

pq，但2q\p，p是q的充分不必要条件。

2[例4] 证明：一元二次方程axbxc0有两异号实根的充要条件是ac0。

证明：先证必要性

22由

方程axbxc0有一正根一负根，则b4ac0，x1x2c0

a故

ac0

再证充分性

2由

ac0，则b4ac0

又x1x2c0，所以方程有两实根且两根异号，a得证。

【模拟试题】

1. 若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则r是p的（ ）

A. 逆命题 B. 否命题 C. 逆否命题 D. 以上都不对

2. 一个命题与它的逆命题，否命题，逆否命题这四个命题中（ ）

A. 真命题的个数一定为奇数 B. 真命题的个数一定为偶数

C. 真命题的个数可能是奇数也可能是偶数

D. 以上都不对

3. 命题“若x3，则x2qx180”的逆命题和否命题中，假命题的个数为（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 设有非空集合A、B、C若“aA”的充要条件是“aB且aC”，则“aB”是“aA”的（ ）

A. 充分非必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3335.“xyz0”是“xyz3xyz”的（ ）

A. 充分非必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 设x、yR，求证：xyxy成立的充要条件为xy0

试题答案

1. C 2. B 3. C 4. B 5. B 6. 证明：由

xyxy

(xy)(xy)

22x22xyy2x22xyy2xyxy

xy0