1.1.1 命题第一课时教学设计

全方位教学辅导教案

学

科

姓

名

教

学

内

容

考

点

难

点

数 学

任课老师

性别

授课时间

年级

****年**月** 日

高二

星期** 课次：第**次课 01常用逻辑用语（1）

1、逻辑连接词2、命题

[来源:Z&xx&k.Com]

知识点剖析和例题精讲

一、四种命题

知识点睛

【一】四种命题的相互关系

知识点一

四种命题的概念

(1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题. (2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这两个命题叫做互否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题. (3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这两个命题叫做互为逆否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题. 知识点二

四种命题的真假性的判断

原命题为真，它的逆命题不一定为真；它的否命题也不一定为真.原命题为真，它的逆否命题一定为真.

四种命题间的真假关系

原命题

真

真

假

假

逆命题

真

假

真

假

否命题

真

假

真

假

逆否命题

真

真

假

假

题型分析

题型一

四种命题的概念

例1

写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假. (1)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根；

(2)弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧；

(3)若m≤0或n≤0，则m＋n≤0；

(4)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B. 跟踪训练1

判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假. (1)若x2＋y2＝0，则x，y全为零；

(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，b2－4ac<0，则该函数图象与x轴有交点.

题型二

四种命题的关系

例2

下列命题：

①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；

②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题；

③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；

④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题. 其中是真命题的是________. 跟踪训练2

下列命题为真命题的是(

) ①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；

②“正三角形都相似”的逆命题；

③“若m>0，则x2＋2x－m＝0有实根”的逆否命题；

④“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题. A.

①②③④

B.①③④

C.②③④

D.①④

例3：写出命题“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题、逆否命题.

[来源:Z&xx&k.Com]

易错警示

错误原因

错解主要是对原命题中的结论否定错误，对纠错心得

在写命题的否命题(逆否命题)时，应注意：“x，y全为0”的否定应为“x，y不全为0”，一是分清已知命题的条件和结论；二是掌握而不是“x，y全不为0”.

一些常用的词语的否定. 达标检测

一、选择题

1.若“x>y，则x2>y2”的逆否命题是(

) A.若x≤y，则x2≤y2

B.若x>y，则x2

来源学科网C.若x2≤y2，则x≤y

D.若x

2.命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(

) A.若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数

B.若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数

C.若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数

D.若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数

3.已知命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题有(

) A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

4.与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是(

) A.能被3整除的整数，一定能被6整除

B.不能被3整除的整数，一定不能被6整除

C.不能被6整除的整数，一定不能被3整除

D.不能被6整除的整数，不一定能被3整除

5.有下列命题：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②函数y＝ax2＋2x－1的图象与x轴至少有一个交点；③互

相包含的两个集合相等；④空集是任何非空集合的真子集.真命题的个数是(

) A.1

B.2

C.3

D.4 6.有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题. 其中真命题的序号为(

) A.①②

B.②③

C.①③

D.③④

7.给出两个命题：

命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅；

命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数. (1)甲、乙至少有一个是真命题；

(2)甲、乙有且只有一个是真命题. 分别求出符合(1)(2)的实数a的取值范围.

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二、充分条件与必要条件

知识点睛

知识点一

充分条件与必要条件

一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件. 梳理：

(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，

记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.

(2)若p⇒q，但q⇏p，称p是q的充分而不必要条件，若q⇒p，但p⇏q，称p是q的必要而不充分条件.

（3）如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件. （4）充要条件的实质是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件.

知识点二

常见的四种条件与命题真假的关系

如果原命题为“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，那么p与q的关系有以下四种情形：

原命题

真

逆命题

真

p与q的关系

p是q的充要条件

q是p的充要条件

p是q的充分不必要条件

q是p的必要不充分条件

p是q的必要不充分条件

q是p的充分不必要条件

p是q的既不充分也不必要条件

q是p的既不充分也不必要条件

真

假

假

真

假

假

从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件. 若A⊆B，则p是q的充分条件，若A⊆B，则p是q的充分不必要条件

若B⊆A，则p是q的必要条件，若B⊆A，则p是q的必要不充分条件

若A＝B，则p，q互为充要条件

若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

题型分析

题型一

充分条件、必要条件与集合的关系

例1：是否存在实数p，使4x＋p<0是x－x－2>0的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由.

跟踪训练1

已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若M是N的充分条件，求a的取值范围. [来源:学_科_网Z_X_X_K]2

例2已知P＝{x|a－4

[来源:学科网ZXXK]

题型二

充要条件的判断

例2

(1)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(

) A.充要条件

B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

(2)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？

①在△ABC中，p：∠A>∠B，q：sin A>sin B；

②若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；

③p：|x|>3，q：x2>9. 跟踪训练2

(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是(

) A.ab＝0

B.ab>0 C.a2＋b2＝0

D.a2＋b2>0 (2)“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是________. 题型三

充要条件的证明

例3

求证：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根均大于1的充要条件是k<－2.

题型四

利用充分条件、必要条件求参数的值(或范围) 例4：已知函数f(x)＝3－x＋22－x的定义域为A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1)的定义域为B. (1)求A；

(2)记p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

2x1跟踪训练4设A＝{y|y＝x，x∈R}，B＝{y|y＝x＋m，x∈[－1，1]}，记命题p：“y∈A”，命题q：“y∈B”，32＋1若p是q的必要不充分条件，则m的取值范围为_____________.

达标检测

一、选择题

1.“x，y均为奇数”是“x＋y为偶数”的(

) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.设{an}是等比数列，则“a1

) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

13.设x∈R，则“x＞”是“2x2＋x－1＞0”的(

) 2A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是(

) A.m＝－2

B.m＝2 C.m＝－1

D.m＝1 5.已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是(

) 1A.x＝－

B.x＝－1 2C.x＝5

D.x＝0 6.在△ABC中，“sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B≥1”是“△ABC是直角三角形”的(

) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

7.“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的(

) A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

118.若a，b为实数，则“0”的(

) ba

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

三、逻辑连接词

知识点睛

知识点一

“且”

(1)定义：一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”.

我们将命题p和命题q以及p∧q的真假情况绘制为命题“p∧q”的真值表如下：

p 真

真

假

假

q 真

假

真

假

p∧q

真[来源学。科。网Z。X。X。K]

假

假

假

命题“p∧q”的真值表可简单归纳为“同真则真”.

知识点二

“或”

(1)定义：一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”. (2)判断用“或”联结的命题的真假：

p 真

真

假

假

q 真

假

真

假

p∨q

真

真

真

假

命题“p∨q”的真值表可简单归纳为“有假才假”.

知识点三

逻辑联结词“非”

(1)命题的否定：一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作P，读作“非p”或“p的否定”.

(2)命题P的真假：若p是真命题，则P必是假命题；若p是假命题，则P必是真命题.

知识点四

“pq”与“p q”的否定

1.对复合命题“p∧q”的否定，除将简单命题p、q否定外，还需将“且”变为“或”.对复合命题“p∨q”的否定，除将简单命题p、q否定外，还需将“或”变为“且”.

复合命题的真假，主要利用真值表来判断，其步骤如下：

(1)确定复合命题的构成形式；

(2)判断其中各简单命题的真假；



(3)利用真值表判断复合命题的真假. 知识点五

命题的否定与否命题

命题的否命题与命题的否定有着本质的区别，命题的否定只否定原命题的结论，不能否定原命题的条件，而否命题是对原命题的条件和结论都否定. 梳理

(1)命题的否定：“非”命题是对原命题结论的否定. ①“非p”是否定命题p的结论，不否定命题p的条件，这也是“非p”与否命题的区别；

②

p与“非p”的真假必须相反；

③“非p”必须包含p的所有对立面. (2)否命题：求一个命题的否命题时，要对原命题的条件和结论同时否定. 题型一

p∧q命题及p∨q命题

例1

分别写出下列命题构成的“p∧q”“p∨q”的形式，并判断它们的真假. (1)p：函数y＝3x2是偶函数，q：函数y＝3x2是增函数；

(2)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角；

(3)p：3是无理数，q：3是实数；

跟踪训练1

指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题：

(1)李明是男生且是高一学生. (2)方程2x2＋1＝0没有实数根. (3)12能被3或4整除.

题型二

P命题

例2写出下列命题的否定形式. (1)面积相等的三角形都是全等三角形；

(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n全为零；

(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.

跟踪训练2

写出下列命题的否定，并判断其真假. (1)p：y

＝

sin x

是周期函数；

(2)p：3＜2；

(3)p：空集是集合A的子集；

(4)p：5不是75的约数. 题型三

p∨q、p∧q、p命题的综合应用



例3：已知命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，若“p∨q”与“q”同时为真命题，求实数a的取值范围.

跟踪训练3：已知命题p：方程x2＋ax＋1＝0有两个不等的实根；命题q：方程4x2＋2(a－4)x＋1＝0无实根，若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围.

达标检测

一、选择题

1.已知命题p：2＋2＝5，命题q：3>2，则下列判断正确的是(

) A.“p∨q”为假，“q”为假

B.“p∨q”为真，“q”为假



C.“p∧q”为假，“p”为假

D.“p∧q”为真，“p∨q”为假

2.“p是真命题”是“p∧q为真命题”的(

) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

x－33.命题p：若a>0，b>0，则ab＝1是a＋b≥2的必要不充分条件，命题q：函数y＝log2的定义域是(－∞，－x＋22)∪(3，＋∞)，则(

) A.“p∨q”为假

B.“p∧q”为真

C.p真q假

D.p假q真

4.已知命题p：若a＝(1,2)与b＝(－2，λ)共线，则λ＝－4；命题q：∀k∈R，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2－2y＝0相交.则下面结论正确的是(

) A.(p)∨q是真命题

B.p∧(q)是真命题

C.p∧q是假命题

D.p∨q是假命题

ex－15.给定命题p：函数y＝ln[(1－x)(x＋1)]为偶函数；命题q：函数y＝x为偶函数，下列说法正确的是(

) e＋1A.p∨q是假命题

B.(p)∧q是假命题

C.p∧q是真命题

D.(p)∨q是真命题

二、填空题

6.命题“若a0的解集为{x|x>－}，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|a

三、解答题

18.已知c>0，设p：函数y＝cx在R上单调递减，q：曲线y＝4x2－4c(x＋)＋c2＋1与x轴交于不同的两点，若“p∨q”2为真命题，“p∧q”为假命题，求c的取值范围.

9.已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，若命题“p∨q” 是假命题，求实数a的取值范围.

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