3.1.1 空间向量及其加减运算课件配套优秀教案案例

3.1

空间向量及其运算

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【学习目标】

1.了解空间向量与平面向量的联系与区别；了解向量及其运算由平面向空间推广的过程。

1. 类比：由平面向量的基本定理，对平面内的任意向量a，均可分解为不共线的两个向量1a1和2a2，使a1a1这种分解就是平面向量的正交分解. 如果取a1,a2为2a2. 如果a1a2时，平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量i,j，则存在一对实数x、y，使得axiyj，即得到平面向量的坐标表示a(x,y). 推广到空间向量，结论会如何呢？

(1)空间向量的正交分解：对空间的任意向量a，均可分解为不共面的三个向量1a1、2a2、导2.了解空间向量、共线向量、共面向量等概念；理解空间向量共线、共面的充要条件；了解

空间向量的基本定理及其意义；掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

3 .掌握空间向量的线性运算及其性质；掌握空间向量的坐标运算。

4 .理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向

3a3，使a1a12a23a3. 如果a1,a2,a3两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解。 (2)空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数学 量的数量积的几何意义. 【学习重点】

空间向量的线性运算及其性质；空间向量基本定理及坐标运算。空间向量的夹角的概念；空间向量的数量积、性质和运算律。

案 【学习难点】 向量共线、共面定理及其应用．

探究案

（一）探究一. 空间向量及其加减与数乘运算

1. 推广：⑴ A1A2A2A3A3A4An1AnA1An；⑵ A1A2A2A3A3A4An1AnAnA10；

装2. 推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意 一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式

OPOAta．其中向量a叫做直线l的方向向量。

订 （二）空间向量的数量积运算

两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量a与b，在空间中任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作＜a,b＞．

说明：⑴规定：0＜a，b＞．

当＜a、b＞＝０时，a与b同向；

线

当＜a、b＞＝π时，a与b反向；当＜a、b＞＝2时，称a与b垂直，记a⊥b．

⑵

两个向量的夹角唯一确定且＜a,b＞＝＜b,a＞．

⑶

注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．

②＜a,b＞(a,b) （三）、空间向量的正交分解及其坐标表示

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组{x,y,z}，使得pxaybzc. 把{a,b,c}叫做空间的一个基底（base），a,b,c都叫做基向量. 2. 单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示．

单位——三个基向量的长度都为1；正交——三个基向量互相垂直．

选取空间一点O和一个单位正交基底｛i,j,k｝，以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向建立三条坐标轴：x轴、y轴、z轴，得到空间直角坐标系O-xyz，

3. 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a，且设i、j、k为坐标向量，则存在唯一的有序实数组(a1,a2,a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k．

空间中相等的向量其坐标是相同的．→讨论：向量坐标与点的坐标的关系？

向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB＝OB－OA＝(x2,y2,z2)－(x1,y1,z1)＝(x2x1,y2y1,z2z1)。

4. 两个向量共线或垂直的判定：设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则

⑴a//ba＝λba1b1,a2b2,a3b3，(R)⑵a⊥ba·b=0a1b1a2b2a3b30．

（四）、空间向量运算的坐标表示（夹角和距离公式）

⒈ 向量的模：设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，求这两个向量的模. ｜a｜＝a22221a2a，｜b｜＝b231b2b23．这两个式子我们称为向量的长度公式．

这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度．

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2. 夹角公式推导：∵

a·b＝|a||b|cos＜a,b＞

∴

a21b1a2b＝abaa22·b222212a31b2b3·cos＜a,b＞

由此可以得出：cos＜a,b＞＝a1b1a2b2a3b3a2a22222

12a3b1b2b3这个公式成为两个向量的夹角公式．利用这个共识，我们可以求出两个向量的夹角，并可以 进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：

拓展提升

1.下列说法中正确的是(

) A．若|a|＝|b|，则a、b的长度相同，方向相同或相反

B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b| C．空间向量的减法满足结合律

D.在四边形ABCD中，一定有AB+AD=AC

2. 已知长方体ABCD—A′B′C′D′,化简下列向量表达式:

(1)AA'CB;

(2)AB'B'C'C'D'

3.在平行六面体中，求证：ACAB'AD'2AC'

4.已知三棱锥A—BCD.

(1)化简1→→2(AB＋AC－AD)并标出化简结果的向量；

(2)设G为△BCD的重心，试用AB，AC→，AD→表示向量AG→.

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5.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB，PC的三等分点且PN＝2NC，AM＝2MB，PA＝AB＝1，求

MN的坐标。

6.已知A(－2,3,1)，B(2，－5,3)，C(8,1,8)，D(4,9,6)，求证：四边形ABCD为平行四边形。

7.棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O1、O2、O3分别是平面A1B1C1D1、平面BB1C1C、平面ABCD的中心。

(1)求证：B1O3⊥PA；

(2)求异面直线PO3与O1O2所成角的余弦值；

(3)求PO2的长。

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