反证法公开课教案（教学设计）

24.2.1反证法教学设计

课型

新授课

课时

1

执教

盖凤霞

教材与学情分析：

“反证法”是九年级上册第二十四章点和圆的位置关系中的一部分内容。

它是初中数学学习中一种特殊的证明方法，对于一些证明体它有着独特，简便，实用的方法。故反证法的学习非常重要。本节课主要目标是了解反证法的基本原理，掌握反证法的一般步骤，会用反证法证明数学中的一些简单命题。

一、首先从课程分析和学情分析着手。

综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，是解决数学问题时常用的思维方式。

反证法是间接证明的一种基本方法，但反证法的应用需要逆向思维，是学习和掌握中的一个难点，所以本节课的重点是使学生在动脑思考，动手证明的过程中体会这种证明方法的内涵，建立应用反证法的感觉。反证法的本质就是通过证明逆否命题的真来肯定原命题。

二、让学生自己去发现问题，解决问题。

先巧用趣味故事引入，并以视频的形式呈现，激发了学生的学习兴趣，并从故事中体会反证法的内涵。学生共同探讨总结出反证法的含义：

反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式

等

相矛盾的结果。这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立。”这种证明的方法，叫做反证法。

教学目标：

1.通过具体例子，使学生体会反证法证明命题的方法，

2.了解反证法的步骤，能初步应用反证法证明一些简单的命题。

教学重点：

体会反证法证明命题的思路方法，用反证法证明简单的命题.

教学难点：

体会反证法证明命题的思路方法，用反证法证明简单的命题

教具准备

：

多媒体

教学过程

：

一、问题情境：

1.小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。”你能对小华的判断说明理由吗？假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。

2.如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,如果∠C=90°，

a、b、c三边有何关系？为什么？

解析：由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知

a2 +b2 ＝c2 .

思考：在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°。

求证；a2 ＋b2 ≠c2 。

有些命题想从已知条件出发，经过推理，得出结论是很困难的，因此，人们想出了一种证明这种命题的方法，即反证法。

假设a2 ＋b2 ＝c2 ，则由勾股定理的逆定理可以得到∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90°产生矛盾，因此，假设a2 ＋b2 ＝c2 是错误的。所以a2 ＋b2 ≠c2 是正确的。

（学生活动：学生自主探究,发现用以前的证明方法不能很好的说明（二）例题讲解

：

问题，激发探究热情。并通过该例，初步感知反证法的基本步骤。

）

例1．求证：经过同一直线上三个点不能作圆。

已知：如图，设点A、B、C在同一条直线l上。

求证：经过A、B、C三点不能作一个圆。

分析：按照反证法的步骤，先假设过A、B、C三点可以作一个圆，然后由这个假设出发推下去，得出矛盾．

证明：假设过A、B、C三点可以作圆，设这个圆的圆心为O，显然A、B、C三点在这个圆上，

所以OA＝OB＝OC，由线段的垂直平分线的判定定理可以

知道，O点既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，也就是说，O点是l1和l2的交点，这

与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾。

所以，过同一条直线上的三点不能作圆。

（师生共同研究证法，如何反设，如何归谬，如何下结论。）

2.求证；在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。

已知；△ABC。

求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°。

证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，即∠A＞60°、∠B＞60°、∠C＞60°。于是∠A＋∠B＋∠C＞60°＋60°＋60°＝180°，这与三角形的内角和等于180°矛盾。

所以三角形中至少有一个内角小于或等于60°

（学生独立完成）

(三)归纳反证法的步骤

：

1．假设命题的结论的反面是正确的；

2．从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、巳证的定理、定义或已知条件矛盾；

3．由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论是正确的。

（

对照上面的问题归纳三个步骤。

）

（四）应用新知：

用反证法证明下列各题：

1．在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等。

2.求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行线中的一条相交,那么和另一条也相交.

已知: 直线l1,

l2,

l3在同一平面内,且l1∥l2,

l3与l1相交于点P.

求证: l3与l2相交. 证明: 假设l3与l2 不相交.那么l3∥l2。

证明：因为已知l1∥l2,所以过直线l2外一点P,有两条直线l1和l3平行,

这与“

经过直线外一点, 有且只有一条直线平行于已知直线”

所以假设不成立,即求

（五）小结：

通过本节课的学习，同学们体会了在证明命题另一种方法，即反证法，它是当有的命题从已知条件出发，经过

推理，很难得出结论时，人们想出的一种证明命题的方法，希望同学们能运用这种方法证明一些简单的命题。

（六）作业：

用反证法证明下列各题：

1.等腰三角形的底角必定是锐角．

2．在一个梯形中，如果同一条底边上的两个内角不相等，那么这个梯形是等腰梯形吗?请证明你的猜想。

（七）板书设计

24.2.1反证法

1.反证法的定义:

2. 反证法的步骤:

3.例题:1,2

(八)教学后记