12.1 二次根式教案设计（一等奖）

第一讲 二次根式的概念以及非负性

【学习目标】

1.知道二次根式的定义及成立条件；

2.掌握二次根式的应用以及非负性；

【学习重难点】

重点：二次根式的形式以及成立条件

难点：二次根式的应用及非负性

【学习过程】

（一）

课前预习课本，学生先自主完成以下习题

21．

若x=5，则x=_______,即_____是5的平方根；2.正数有_____个平方根，负数_____平方根；

3.5、8、a（a≥0）都含有_____,且被开方数都______零；

4.二次根式的概念：式子a（____）,叫二次根式；5.二次根式a（a≥0）是一个_____数；

（二）

引入新的知识点1——二次根式的概念以及成立条件

1、二次根式的定义

定义：一般的，我们把形如a（a≥0）的式子，叫做二次根式“”称为二次根号（根指数为2通常省略），二次根号下的“a”叫做被开方数。

注意：（1）a可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式。需注意，a≥0. （2）根据概念可知二次根式必须同时满足：①带有二次根式符号；②被开方数是非负数。

例题1 下列各各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？

（2）-5 （3）370 （4)x22

（1）【解题规范】(1)160,16是二次根式。（2）-50,5不是二次根式。

x2>0,x22370的根指数为3，370不是二次根式。（3）（4）无论x为何实数，x0，是二次根式。

2、二次根式有意义的条件：根号里面的“a”必须是非负数（a≥0）。

例题2：

要使下列各式有意义，字母x的取值必须分别满足什么条件？（直接写答案）

（1）34x

2（2）x （3）x12x

223x（4）x1

【思路引导】要使二次根式有意义，则被开方数是非负数，同时如果是分式的话，也要满足分母不为零。同时也要注意解答分式的正确方法。

33。当x时，34x在实数范围内有意义。

442222（2）x0,x0.而要使二次根式有意义，则-x0，又-x0，x=0. 【解题规范】（1)由3-4x0,得x（3）要使x12x有意义，则有x10且2-x0，解得-1x2. 由题意可知 3-x≥0

x-1≠0 3xx3且x1，当x3且x1时，x1在实数范围内有意义。 【规律总结】解二次根式有意义的条件这类题的方法是：①被开方数为非负数；②对于分式，它有意义的条件是分母不为0；③多个式子时取各式子有意义范围的公共部分

【对应习题测试】(1)式子8、a2、x1、2、35中是二次根式的有__________________。

（2）如果nmn是二次根式，那么m应满足的条件是_______(m≥2)

（3）求下列式子x的取值范围①1-2x②x2③x132x

④（三）通过典型例题讲解本课的难点知识——二次根式的应用及非负性

例题3 已知实数x,y满足x54-x（要求学生书写规范）

x1y40，求代数式（x+y）2013的值。

x5y40，

【思路引导】依据a（a≥0）的非负性求解

【解题规范】解：∵x50,y40且

∴必有：x50且y40，

即x-5=0，y+4=0，

∴x=5,y=-4

∴（x+y）2013=（5-4）2013=1 【对应习题测试，学生要求按解答题格式类书写】

1y30，则xy的值_____。（23）

22

②a,b,c为三角形三边且a3b8b160，则c的取值范围是________。（1＜c＜7）

x2013③若x,y为实数且x2y20，则()的值是_______。（-1）

y1bab8互为相反数，求的值。

④已知3ab6与（7）

2a2【规律总结】①a、a、a（a≥0）为非负数；②几个非负数的和为零，则这几个非负数都为0. ①若3x4m244m22【综合提升】若m,n都是实数，且n，求mn的值。（提示：从整式有意义m21的条件入手）（m=-2,n=-,mn=1）

2(四)课后练习题（解答题要求书写规范）

（１）如果式子4-2x是二次根式，那么x的取值范围是

（２）

函数y=13x中自变量x的取值范围是 （３）函数y中自变量x的取值范围是 x1x2（４）判定下列各式中，哪些一定是二次根式？①6

②38

③x-2④8⑤70⑥416⑦x26

（５）已知：a-2b50，求ab的值。

（６）若ｘ，ｙ为实数，且2x112xy4，求x的值。

（７）已知ab1与a2b4互为相反数，求(ab)2014的值。

（８）求a494a15aa2的值。

（９）△ＡＢＣ的三边长为ａ，ｂ，ｃ，其中ａ和ｂ满足b4b4a50，求ｃ取值范围。

（１０）能力拓展题

已知ａ，ｂ为一等腰三角形两边长，且满足等式23a632ab4，求此等腰三角形的周长和面积。（提示：从隐含二次根式有意义入手）

（１１）能力拓展题

已知3y85x3ab2013×2013ab，求１０ｘ＋６ｙ的平方根。

【本学案答案】

2y