24.1 圆教案2

24.1.2 《垂直于弦的直径》教案

杨晓彬2018-10-31 【学习目标】

知识技能

1.理解并掌握垂径定理及其逆定理；

2.掌握垂径定理及其推论，学会运用垂径定理及其推论解决有关的证明、计算问题. 过程方法

1. 经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，通过观察、动手操作培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力. 2. 在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法，锻炼学生的逻辑思维能力,体验数学来源于生活又用于生活. 情感态度

让学生积极投入到圆的轴对称性的研究中，体验到垂径定理是圆的轴对称性质的重要体现.

【重点难点】

重点：垂径定理、推论及它们的应用. 难点：对垂径定理的探索和证明，并能应用垂径定理进行简单计算或证明.

【课堂探究】

情景创设: 问题

：你知道赵州桥吗?它1300多年前, 我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2米, 你能求出桥拱的半径吗? 一、自主探究、做出猜测

问题：用纸剪一个圆，将圆对折、打开，再重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？

圆的对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．

可以得出以下5个关系：

二、根据猜测，做出证明

你得到的结论，该如何证明？

先来回顾下作两个点关于直线l对称的作法

作法: 过点A作直线l的垂线在垂线上截取OA’=OA,垂足为点O，点A’就是点A关于直线l的对称点. 也就是说，若AA垂直直线l,并且OA=OA′（即只需证明l为AA′

的垂直平分线）

那么点A与A′就关于直线l对称

如何证明圆关于直径所在的直线对称？

如图，只需证明直线CD为弦AB的垂直平分线即可

方向1：过圆心O做AB的垂线，再证AE=BE 方向2：作AE=BE ，再证明直线OD垂直AB 方向1的证明：（还欠缺什么考虑？）

证明方法1：等腰三角形的三线合一

证明方法2：全等三角形证明

证明方法3：勾股定理证明（可以直接计算）

方向2的证明：（还欠缺什么考虑？）

证明方法1：等腰三角形的三线合一

证明方法2：全等三角形证明

三、通过证明，得出定理以及推论

通过方向1：我们可以知道垂直于弦的直径，所在的直线仍然是该图的对称轴

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧

温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如. 例1下列图形是否具备垂径定理的条件？

几何语言：

小结：适用垂径定理的几个基本图形：

这里的“垂径”可以是直径、半径、弦心距等，其本质是“过圆心”的直线。

通过方向2：我们可以知道平分弦（不是直径）的直径，所在的直线仍然是该图的对称轴

垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。

几何语言：

四、习题强化与规范：

1、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是（

）

2、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,求AB的长度。

圆心到弦的距离、半径、弦构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。

3、完成课本P83练习第1题。

如图，在⊙O中，弦AB的长

为8cm，圆心O到AB的距离 3cm，求⊙O

的半径．

4、完成课本P90练习第9题。 如图，两个圆都以O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，

求证；AC=BD

5、如图一弓形弦AB长为8cm，弓形所在的圆的半径为5cm，

则弓形的CD高为＿＿＿____＿

变式一：如图一弓形弦AB长为8cm，弓形所在的圆的半径为5cm，

则弓形的CD高为＿＿＿____＿. 变式二：一弓形弦AB长为8cm，弓形所在的圆的半径为5cm，则弓形的CD高为＿＿＿____＿. 6.已知⊙O半径为13cm,弦AB∥CD,AB=24cm，

CD=10cm，则AB,CD之间的距离为

（

）

A.17cm

B.7cm

C.12cm

D.17cm 或7cm

五、理解例题，掌握实际问题的建模思想 问题

：你知道赵州桥吗?它1300多年前, 我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2米, 你能求出桥拱的半径吗?

对应习题强化解题过程：

如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（

即图中CD,点0是CD所在圆的圆心），

其中CD=600m，E为CD上的一点，且OE⊥CD，

垂足为F，EF=100m.求这段弯路的半径。 六、快速抢答

强化运用

如图：在⊙O中,设⊙O半径为R，弦AB=a，弦心距OD=d, 弓形的高DE=h,

且OE⊥AB于D.

(1)、已知R=5，d=3，求a，h (2)、已知R=5，h=2，求a，d (3)、已知R=5，a=8，求d，h (4)、已知h=2，d=3，求a，R (5)、已知a=8，h=2，求d，R

七、课堂小结

1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

3.垂径定理的应用：

方法：过圆心作弦的垂线段，

连结半径，构造直角三角形

八、作业：《全品》P120-121对应练习