24.1 圆第二课时教学实录

24.1.2 垂直于弦的直径

※教学目标※

【知识与技能】

1.探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质. 2.能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题. 【过程与方法】

1.在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的一些性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程．

2.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神. 【情感态度】

渗透数学来源于实践和事物之间相互统一、相互转化的辩证唯物主义观点，让学生体会几何图形所蕴涵的对称美。

【教学重点】

垂径定理及其应用．

【教学难点】

对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明方法．

※教学过程※

一、情境导入

（课件出示图片）你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 二、探究新知

1.圆的轴对称性

问题1 将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？（圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠.）

2.垂径定理及其推论

C

如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．

BAM （1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．

O （老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD．

（2）AM=BM，=，=，即直径CD平分弦AB，并且平分及弧ADB．

D归纳总结

垂径定理*：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 想一想 （出示课件）判断下列图形，能否使用垂径定理？

BBB

OOOO

CDCDCEDC

DAAA

提问（1） 一条直线满足过圆心和垂直于弦，则可得到什么结论？

提问（2） 已知直径AB，弦CD且CE=DE，那么可得到的结论有哪些？

结论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

提问（3） 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧，为什么不是直径? 3.利用垂径定理及推论解决实际问题

问题3 如图，用

表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与

相交与点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中点，C是

的中点，CD就是拱高. 由题设可知AB=37cm，CD=7.23cm，所以AD11AB3718.5(cm)，ODOCCDR7.23.在22Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2AD2OD2，解得R27.3(m).因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.

三、开放训练，体现应用

1.如图，AB是圆O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，根据圆的轴对称性可得：CE=_______，BC=_______；AC=_______．

2.如图，在圆O中，MN为直径，若MN⊥AB，则_______，_______，_______，若AC=BC,AB不是直径，则_______，_______，_______．

3.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中AB)，点O是这段弧的圆心，C是AB上的一点，OC⊥AB，垂足为D。AB=300m,CD=50m，则这段弯路的半径是_______m．

第1题图 第2题图 第3题图

四、归纳小结

通过这节课的学习，你还有那些收获？

五、布置作业

※教学反思※

本节课从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般，层层递进，以利于提高学生的数学思维能力，同时，注意加强对学生的启发和引导，培养学生大胆猜想，小心求证的科学素养. 本节课将垂径定理和勾股定理有机结合，将圆的问题转化为直角三角形，常作的辅助线是半径或垂直于弦的直径.