公因式为多项式的提公司因式法教案2

§2.3.1

运用公式法（一）

学习目标

1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；

2.使学生掌握用平方差公式分解因式. 3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式.

学习过程

一、创设问题情境,引入新课

在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式. 如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法. 二、新课讲解

1.请看乘法公式

（a+b）（a－b）=a2－b2

（1）

左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是

a2－b2=（a+b）（a－b）（2）

左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？

符合因式分解的定义，因此是因式分解. 对，是利用平方差公式进行的因式分解.第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式. 2.公式讲解

请大家观察式子a2－b2,找出它的特点. 是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差. 如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积. 如x2－16=（x）2－42=（x+4）（x－4）. 9 m 2－4n2=（3 m）2－（2n）2

=（3 m +2n）（3 m－2n）

3.例题讲解

［例1］把下列各式分解因式：

（1）25－16x2;

（2）9a2－b2. 解：（1）25－16x2=52－（4x）2=（5+4x）（5－4x）; （2）9a2－b2=（3a）2－（b）2=（3a+b）（3a－b）.

［例2］把下列各式分解因式: （1）9（m+n）2－（m－n）2;（2）2x3－8x. 解：（1）9（m +n）2－（m－n）2

=［3（m +n）］2－（m－n）2

=［3（m +n）+（m－n）］［3（m +n）－（m－n）］

=（3 m +3n+ m－n）（3 m +3n－m +n）

=（4 m +2n）（2 m +4n）

=4（2 m +n）（m +2n）

（2）2x3－8x=2x（x2－4）

=2x（x+2）（x－2）

说明：例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法. 补充例题：判断下列分解因式是否正确. （1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2. （2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）·（a2－1）. 解：（1）不正确.本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但（1）中还是多项式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进行因式分解. （2）不正确.错误原因是因式分解不到底，因为a2－1还能继续分解成（a+1）（a－1）. 应为a4－1=（a2+1）（a2－1）=（a2+1）（a+1）（a－1）. 三、课堂练习

（一）随堂练习

1.判断正误

（1）x2+y2=（x+y）（x－y）;

（2）x2－y2=（x+y）（x－y）;

（3）－x2+y2=（－x+y）（－x－y）;

（4）－x2－y2=－（x+y）（x－y）.

2.把下列各式分解因式

解：（1）a2b2－m2

（2）（m－a）2－（n+b）2

（3）x2－（a+b－c）2

（4）－16x4+81y4

（二）补充练习：把下列各式分解因式

（1）36（x+y）2－49（x－y）2; （2）（x－1）+b2（1－x）; （3）（x2+x+1）2－1. 四.课时小结

我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法.如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行. 第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止. 五.课后作业 习题2.4