5.3 同角三角比的关系和诱导公式优秀教学设计内容

5.3.1同角三角函数的基本关系（1）

教学目的：

知识目标：

1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式；

2.掌握三种基本关系式之间的联系；

3.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。

能力目标：

（1）牢固掌握同角三角函数的八个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角的思维能力；

（2）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力；

德育目标：训练三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；

教学重点：同角三角函数的基本关系式

教学难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用

授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学. 教

具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1．任意角的三角函数定义：



终边上任意一点P(x,y)，设角是一个任意角，

它与原点的距离为r(r|x|2|y|2x2y20)

，那么：[来源:www.shulihua.net]

sinxryrxy

cos

tan

cot

sec

csc

y，y．

r，x，r，x，2．当角α分别在不同的象限时，sinα、cosα、tgα、ctgα的符号分别是怎样的？

sinA3．背景：如果35，A为第一象限的角，如何求角A的其它三角函数值；

4．问题：由于α的三角函数都是由x、y、r 表示的，则角α的六个三角函数之间有什么关系？

二、讲解新课：

（一）同角三角函数的基本关系式：

（板书课题：同角的三角函数的基本关系）

1.

由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：

sincsc1cossec1tancot11)

（1）倒数关系：

sintancoscoscotsin

2)

（2）商数关系：

3)

（3）平方关系：

1.

给出右图，你能说明怎样利用它帮助我们记忆三角函数的基本关系吗？

2.

[来源:www.shulihua.net数理化网]sin2cos21221tansec1cot2csc2

cosAsinAtgA1ctgAsecAcscA

1.

（1）在对角线上的两个三角函数值的乘积等于1，有倒数关系。

2.

（2）带有阴影的三个倒置三角形中，上面两个三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。有平方关系。

3.

（3）六边形上任意一个顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上的函数值的乘积。可演化出商数关系。

说明：

①注意"同角"，至于角的形式无关重要，如sin24cos241等；

②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如tancot1(k,kZ)2；

③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：

cos1sin2，

sin21cos2，

3．例题分析：

cossintan等。

sin例1．（1）已知1213，并且

是第二象限角，求cos,tan,cot．[来源:www.shulihua.net]

cos（2）已知45，求sin,tan．

[来源:www.shulihua.net]22sincos1，解：（1）∵

125cos21sin21()2()21313，

∴又∵

是第二象限角，

∴cos0，即有cos513，从而

tan

sin1215cotcos5，

tan12．

423222sin1cos1()()22

∴55，

（2）∵sincos1，cos又∵405，

∴

在第二或三象限角。

sin3sin3tan5，cos4；

sin0，从而

当在第二象限时，即有sin0

，从而

当在第四象限时，即有sin3sin3tan5，cos4．

总结：

1.

已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。

2. 解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。

sin,cos．

tan表示

例2．已知tan为非零实数，用tansincos，

cos211tan2，

解：∵sincos1，22∴(costan)cos22cos2(1tan2)1，即有



又∵tan为非零实数，∴为象限角。

11tan2cos221tan1tan，

cos0

当在第一、四象限时，即有，从而tan1tan2sintancos1tan2

；

11tan2cos2cos0

1tan1tan2，

当在第二、三象限时，即有，从而tan1tan2sintancos1tan2

．

例3．已知cotm（m0），求cos

cot解：

∵2coscossinsin，

即cot，2[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

又∵sincos1，1cos21m22222cos(12)1coscoscos(1)122mcot1m2，

∴cot，即，

为象限角。

又∵m0，∴

m2cos2cos0

m1；



当在第一、四象限时，即有，m2coscos0

m21．



当在第二、三象限时，即有，4．总结解题的一般步骤：

①确定终边的位置（判断所求三角函数的符号）；

②根据同角三角函数的关系式求值。

三、巩固与练习

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练习1，2，3，4 四、小

结：本节课学习了以下内容：

1．同角三角函数基本关系式及成立的条件；

2．根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值；

3．在以上的题型中：先确定角的终边位置，再根据关系式求值。如已知正弦或余弦，则先用平方关系，再用其它关系求值；若已知正切或余切，则可构造方程组来求值。

五、课后作业：六、板书设计：