本章（下）小结名师教学设计2

20171011公开课教案

课题：函数性质的综合应用

一、上课时间：2017年10月11日 上课班级：高三（6）班

上课教师：吴

均

二、教学内容和内容解析

函数是高中数学核心内容之一，高中阶段要求学生在掌握幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等初等函数性质和图像的基础上，掌握函数的一般研究方法，且会利用函数性质解决有关方程、不等式等问题（函数思想方法）．本课主要研究如何在不同已知条件下探究函数性质，如何利用性质解决相关问题．

三、教学目标和目标解析

函数的性质的呈现形式不唯一，主要有以下三种形式：（1）性质由数学语言给出；（2）性质通过方程和不等式给出；（3）性质由解析式或图像给出．学生在利用函数性质解决相关问题中的难点在于如何从不同表征形式中挖掘出解决特定问题的所需的性质，培养学生解决问题的目标意识．基于以上分析，本节课的教学目标如下：

1.掌握不同条件下函数相关性质的研究方法；

2.会利用函数性质解决相关的问题；

3.体会数学概念不同表征下内在的统一，培养学生思维的灵活性和深刻性．

四、教学重点和难点

1.教学重点：不同条件下函数性质的研究方法．

2.教学难点：利用函数性质的不同表征解决相关问题．

五、教学过程

（一）课前热身

1. 设函数fxax1在区间2,上是增函数，那么a的取值范围是___ _____．

x2a2.（2016年天津高考）已知fx是定义在R上的偶函数，且在区间（-，0）上单调递增.若实数a满足f(2a1)f(2)，则a的取值范围是___

___. 3fx，如图表示该23.若函数f(x)满足对任意xR，都有fx函数在区间(2,1]上的图像，则f(2014)＋f(2015)＝ （ ）

A3 B

2 C1 D0

1

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（二）课堂例题

1.性质由解析式给出

（1）已知函数fxx3lgx21x，若f(x)的定义域中的a、b满足

f(a)f(b)3f(a)f(b)3，则f(a)f(b) ．

分析思路：非初等函数，性质未知．由所求解问题发现需研究函数奇偶性．故判断函数奇偶性即可求解本题．

2x1sinx（2）设函数fx的最大值为M，最小值为m，则Mm=__ __．

x21分析思路：非初等函数，性质未知，无法直接分别求出最大值和最小值，故应分析函数的性质，整体求出最值之和．解析式变形后易得，图像是中心对称图形，故最大值点和最小值点也关于图像的对称中心对称，即可求解本题，体现了整体运算的思想．

xk(1a2),x0（3）已知f(x)2,aR，对任意非零实数x1，存在唯一的非零2x4x(3a),x0实数x2(x1x2)，使得f(x1)f(x2)成立，则实数k的取值范围是 （ ）

Ak0 Bk8 C0k8 Dk0或k8

分析思路：由解析式得分段函数两段分别为初等函数，性质可探究．由所求解问题可等价转化为两段最小值相等，利用方程思想即可求解．

2.性质由方程给出

（1）已知定义在R上的函数fx满足fxfx，fx1f1x，且当x0,1

时,fxlog2x1,则f31= . 分析思路：由条件中两方程可得函数图像关于原点对称且关于直线x1对称，在此基础上可得是周期为４的函数，通过变换可求得结论．

（2）设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足f(x2)f(x1)f(x)，

如果f(1)lg3，f(2)lg15，求f2019= ．

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分析思路：由条件方程可知自变量取整数时，相邻三项函数值存在关系，进一步研究可得函数周期性．

（3）（2016年全国II高考）已知函数f(x)(xR)满足f(x)2f(x)，若函数y与yf(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),,(xm,ym),则x1x(xy)

iii1m（ ）

A0 Bm C2m D4m

分析思路：由条件方程可得函数fx图像关于点0,1对称，而yx1图像也关于点0,1x对称，故两函数图像的交点也关于点0,1对称，根据这个特征，即可求解．

3.性质由数学语言给出

（1）若定义在R上的偶函数f(x)在(,0)上是减函数，且f()=2，则不等式13f(log1x)2的解集为______. 8分析思路：根据条件中函数满足的必要条件，画出图像，由图像特征将f去掉后求解．利用图像将抽象问题形象化是常用的解题策略．

（2）（2011年上海市高考）设gx是定义在R上，以1为周期的函数，若函数fxxgx在区间3,4上的值域为2,5，则fx在区间10,10上的值域为_______________．

分析思路：由gx是周期函数，得到函数fx的性质，在此基础上即可解决问题．

思考题: 函数fx的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1、x2D，有fx1x2

fx1fx2．

（1）求f1的值；

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（2）判断fx的奇偶性并证明；

（3）如果f41,f3x1f2x63，且fx在0,上是增函数，求x的取值范围．

分析思路：抽象函数一般用赋值法，赋值法体现了特殊和一般的思想，根据所研究的问题赋不同的值是解决此类问题的难点．执果索因，变换方程或不等式结构是解决此类问题的一般策略．

（三）课堂小结

1. 性质通过解析式给出的

这类问题有解析式，但考虑的方向不是代人求值问题，而是通过观察解析式的特点，从而得到函数的性质，用性质去解决相关问题，考虑的性质一般是先看看函数的对称性，再看看单调性，进一步作出相关的草图就可以解决了. 2. 性质通过方程给出的

这类问题通常是考查的抽象函数有关问题，抽象函数因其没有解析式，其性质以方程给出而成为解题依据. 所以在解题时要搞清楚常见方程所告诉的含义是什么. 3. 性质通过数学语言给出的

这类问题一般没有解析式，也没有函数方程，有的是常见的函数性质语言比如:单调递增，奇函数等等，它通常和不等式联立在一起考查，处理方式主要是通过它所给的性质画出函数的草图然后解决就可以了.

六、课后反思

本节课是高三第一轮复习课，课前预设是学生已经初步掌握函数基本性质的研究方法，了解幂、指、对、函数的性质，在此基础上，研究陌生函数的性质，从而解决某些不等式、方程等问题．因为是专题课的原因，本节课内容较多，难度较大，个别学习基础比较薄弱的学生，在灵活运用函数性质方面存在一些困难．后续教学应降低起点，兼顾到所有学生．

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函数性质的综合应用配套练习

姓名＿＿＿＿＿

学号＿＿＿＿＿＿

1.已知函数f(x)是定义在(,0)(0,)上的奇函数,在(0,)上单调递减,且f(2)0,若f(x1)0，则x的取值范围为 ．

2.函数fxx1sinx11x3的所有零点之和为________________．

23.函数yxlgx2的图像

( ) x2

A关于x轴对称 B关于原点对称

C关于直线yx对称

D关于y轴对称

f(x)f(x)0的解x4.设偶函数f(x)在(0,)上为减函数，并且f(2)0，则不等式集为

（ ）

A

(2,0)(2,)

B(,2)(0,2) (2,)

D(2,0)(0,2)

上是增函数，g(x)f(x)，若，则的取值

C

(,2)5.已知函数范围是

在AC

BDxx

5.【2011上海,理20】已知函数f(x)a2b3，其中常数a,b满足ab0

（1）若ab0，判断函数f(x)的单调性；

（2）若ab0，求f(x1)f(x)时的x的取值范围.

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6.（1）已知0x1x2，求证：(2)已知fxlgx1x11x1；

x21x21log3x,求证：fx在定义域内是单调递减函数；

2(3)在(2)的条件下，求集合Mnfn214n19980,nZ的子集个数.

7.附加题 设f(x)的定义域为R，对任意x,yR，都有f()f(x)f(y)，

2xy且x1时，f(x)0，又f()1，

(1)求证f(x)为减函数；

(2)解不等式f(x)f(5x)2.

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