2.6.2 求曲线的方程教学评价实录

2017高考数学直通车二轮复习主备教案

第14讲 直线与圆锥曲线的位置关系

一、教学目标

1、理解并掌握直线与圆锥曲线位置关系问题的求解转化为研究方程（组）的问题，会利用韦达定理等处理诸如弦中点、弦长、垂直等问题．

2、熟练掌握涉及焦点弦的问题与定义的联系，并能够挖掘题目的隐含条件，寻找量与量之间关系的转化．

3、能够运用数形结合、分类讨论等思想方法进行分析、判断，能综合运用函数、不等式、向量的知识解决相关问题．

二、课前诊断

1、教学处理：可以按照课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏．上课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及存在的主要问题；也可以视学生具体学习实际，由学生当堂完成，通过讨论、交流等形式使得诊断功能更好．

2、结合课件点评．

题1．若椭圆的中心为坐标原点，长轴长为4，一条准线方程为x4，则该椭圆被直线yx1截得的弦长为

分析：（1）求出圆锥曲线。

（2）直线与椭圆的交点解出利用点与点的距离公式（但是计算量相对较大） （3）利用弦长公式；

24第1题答案为：

7x2y21恒有公共点，则t的取值题2．若直线y＝kx＋1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆5t范围是 ．

分析观察直线的特点，恒过（0，1） 点在椭圆内或椭圆。引导学生作图找出，找定点。

第2题答案为：[1，5）

题3．若椭圆x4y36的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线方程为______________ 22分析：如何确定直线方程。（1）两点，（2）一个斜率与一个点

（2）：如何寻找第二个条件。

（3）：设而不求法。

第3题答案为：.x2y80

题4、在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线xy1右支上的一个动点．若点22P到直线xy10的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为 [来源:．学#.科 # 答案为： 2．

2

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【点评】本题的处理方法大致有两种：一是用代数的方法，研究关于恒成立的问题。设Px0,y0，利用点到直线距离公式得到2c2x0y01，

2x0y012c恒成立，即11221，又P为双曲线由于x0，所以2c2y01x0y0x0y0x0y01111,c2，所以c的最x2y21右支上的一个动点，所以2c22x0y022大值为2 .但是这种解法需要“技巧”. 2二是利用双曲线的几何性质，问题变得简单且容易求解.因此，要不断引导学生发现和利用“已有的几何性质”，不论是平面图形的，还是圆锥曲线的性质。

3、诊断题归纳

（1）圆锥曲线的基本概念、基本性质、标准方程等要理解到位，圆锥曲线中的各个基本量和它们间的关系以及几何意义要熟练掌握．

（2）解析几何中的基本运算能力要求较高，平时应加强锤炼，不能因“烦”不算，同时，许多的运算要求尽力追求合理性，表达要简捷、有效．

（3）动态问题分析要能“以静制动”，动点多时可以假定某个点不动，逐步研究，这与研究多参数问题思路相同．

（4）直线与椭圆的位置关系也可通过几何法探讨，若直线上某个点在椭圆内，直线与椭圆必相交.

x2y2例1．设F1,F2分别是椭圆C:221ab0的左右焦点，M是C上一点，且MF2abC的另一个交点为N．

与x轴垂直，直线MF1与（1）若直线MN的斜率为3，求C的离心率；

4（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且MN5F1N，求椭圆C的方程．

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【教学处理】

【教学处理】：（1）第一问让学生自己动手运算看其如何发现等价条件。教师巡视个别点评。

（2）第二问让学生思考，启发他们如何处理N点的问题

【启发谈话与引导分析】（1）根据点M在椭圆上，并且MF2与x轴垂直，得到点M的坐标，kMNkMF1,再结合椭圆基本关系式a2b2c2，转化为关于a,c的齐次方程，两边同时除以a，即可求得离心率；

2b24，又根据条件MN5F1N,可求得点N（2）根据中位线的几何关系，可得MF2a的坐标，而点N在椭圆上，代入椭圆方程，再结合椭圆基本关系式abc，即可求得椭圆方程.

2221x2y21

【答案】（1）e；（2）24928【解析】

b2解：（1）记cab，则F，

1c,0,F2c,0，由题设可知Mc,a22b23则kMNkFMa2b23ac，

12c4c1ca2c23ace,或e2(舍去)；

a2ab24①，

（2）记直线MN与y轴的交点为D0,2，则|MF2|4a3cMN5F1N,DF12F1NN,1，

29c21将N的坐标代入椭圆方程得221②

4ab22由①②及c2a2b2得a49,b28，

x2y21．

故所求椭圆C的方程为4928

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【评价】

1 第一问的问题的关键是如何处理点M与点N关系。

2 第二问是作图，借助于图形找等价的关系。

考点：1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系.

例题2、已知椭圆C:x23y23，过点D1,0且不过点2,1的直线与椭圆C交于，两点，直线与直线x3交于点．

（1）求椭圆C的离心率；

（2）若垂直于x轴，求直线的斜率；

（3）试判断直线与直线D的位置关系，并说明理由．

【教学处理】第（1）问:让学生自主解决。

第（2）问：可以由学生板演，然后师生评点。视学生完成情况，设置问题。

何设？

交流：设A1,y1,B1,y1。

yBEAMxOD问题1：当垂直于x轴时，,点的坐标有何特征？是否需要设出,点的坐标？如问题２：猜想一下，的斜率是定值，还是关于某个参数的变量。如何求点M的坐标？

交流：建立AE的方程，与x3联立方程组求解。

交流：事实上，在“直线AE的方程为y1(1y1)(x2).令x3，得M(3,2y1). 2y1y11”过程中，y1已经是定值，只是我们没有解出来. 3110第（3）问：当直线AB的斜率不存在时，容易判断kBM1，直线DE的斜率kDE1，21所以直线BM的斜率kBM所以BM//DE. x23y23当直线AB的斜率存在时，设其方程为yk(x1)(k1)，利用方程组探求A，yk(x1)B的坐标是必然的。点M的坐标还是用AE的方程为y1y11(x2)与x3联立得到x12M(3,y1x13)。

x12x23y23若设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则由方程组可以化得yk(x1)(13k2)x26k2x3k230. 这里可以适当提问：

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1.为了保证直线与椭圆交于两点，是否需要计算此方程的“”？

2.我们的目标很明确，就是由点的坐标研究直线的斜率，有两个基本做法：一是由韦达定理计算点的横纵坐标的和与积的关系入手，探求斜率的关系；二是直接解出A,B点的坐标，计算斜率的关系。请预想哪一种运算较为合理？

接着交给学生思考、交流，师生点评、小结。

【评价】本题重点是锤炼学生的基本运算能力，要求学生扎实经历运算。

x2y23例题3改为：如图过点C(0,1)的椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为.椭圆与x轴交于两点ab2A(a,0)、B(－a,0)．过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q. (1)当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；

→→(2)当点P异于点B时，求证：OP·OQ为定值．

【启发谈话与引导分析】

第一问（1）如何求CD的长度。必须求D点坐标。

（2）如何求D点坐标，必须CD所在直线方程与椭圆联立方程组。 第二问：（1）问题的关键是如何求出P，Q坐标。 （2）必须求出AC,与BD的直线方程。

（3）

必须利用CP所在直线方程与椭圆联立求出D点

c3x22(1)解

由已知得b＝1，＝，解得a＝2，所以椭圆方程为＋y＝1. a243椭圆的右焦点为(3，0)，此时直线l的方程为y＝－x＋1，

3代入椭圆方程化简得7x2－83x＝0. 83解得x1＝0，x2＝，代入直线l的方程得

71y1＝1，y2＝－，

7831所以D点坐标为，－. 7783－02＋－1－12＝16. 故CD＝

777(2)当直线l与x轴垂直时与题意不符．

1设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0且k≠)．

222代入椭圆方程化简得(4k＋1)x＋8kx＝0. －8k解得x1＝0，x2＝2，

4k＋11－4k2代入直线l的方程得y1＝1，y2＝2，

4k＋1

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－8k1－4k所以D点坐标为2，2. 4k＋14k＋1x又直线AC的方程为＋y＝1，

2x＝－4k，1＋2k直线BD的方程为y＝(x＋2)，联立解得

2－4ky＝2k＋1.2

因此Q点坐标为(－4k,2k＋1)．

1－，0. 又P点坐标为k→→1所以OP·OQ＝－k，0·(－4k,2k＋1)＝4. →→故OP·OQ为定值．

【评价】

1本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力．

2以直线与圆锥曲线的位置关系为背景的证明题常见的有：证明直线过定点和证明某些量为定值．而解决这类定点与定值问题的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向．

三：解题反思

1、根据条件，利用方程（组）确定椭圆的参数a,b,c，体现方程思想；

2、充分联系几何图形的性质，注意图形的特征，探求问题的解决途径，简化解题过程，体现数形结合．

3、解决综合问题时，应剖解综合条件，利用向量等知识，找到问题与题目条件的联系．