2.2.1 椭圆的标准方程课件配套优秀公开课教案设计

2.2.1椭圆的标准方程

一、教学目标

（1）通过类比圆的研究过程，培养学生通过类比、解析法研究椭圆；

（2）掌握椭圆的标准方程的特点，能根据椭圆方程确定焦点位置，确定a,b,c的值；

（3）能通过定义法和待定系数法求椭圆的标准方程；

（4）注重掌握通过解析法研究解析几何的一般方法，培养学生观察、比较、分析、概括的能力，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。

二、教学重点、教学难点[来源:学科网ZXXK]

重点：椭圆标准方程及求法

难点：椭圆标准方程的推导

三、教学用具

多媒体、实物展台

四、教学过程

（一）创设情境，导入新课

提问1：

我们已经全面学习了圆的有关知识，回顾一下我们是怎样研究圆的？

设计意图：让学生自主说出或者在教师的引导下说出先研究圆的方程，然后根据方程研究有关性质等。这就是解析几何研究的基本思路，即从代数角度研究解析几何。

提问2：

上节课，我们一起共同学习了椭圆的定义，本节课将继续研究椭圆，

你觉得我们应该从哪些方面来研究？

设计意图：让学生说出先研究椭圆的方程，再根据方程研究椭圆的性质。

通过以上两个提问，引出本节课的课题。

（二）问题引领，探究新知

问题1：椭圆的定义是什么？

追问1：你能从定义中发现哪些已知量？

追问2：为了便于求椭圆方程，这些已知量如何处理？

追问3：你能用一个代数式描述定义么？

设计意图：通过层层追问，不断深入，引导学生得到两个焦点F1,F2的距离用2c表示，椭圆的任意一点P到焦点F1,F2之和为常数用2a表示，揭示出椭圆定义的代数形式：PF1PF22a,2a2c

问题2：求椭圆方程的步骤是什么？

设计意图：将一个看似有点突兀的问题抛给学生，可以激起学生思维的涟漪，培养需要面对全新问题如何寻找解决的方案。如果学生有点茫然，无法回答，教师可以引导学生类比圆的标准方程的求法，让学生得出步骤：建系、设点、列关系式、化简、证明.

问题3：坐标系可以随便建立么？你认为怎样建立坐标系得到的椭圆方程更加简单？

设计意图：让学生通过椭圆图形的对称性角度以及类比圆、初中所学习的抛物线等得出：以椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴建立坐标系所得到的曲线方程更加简洁！

问题4：如果设Px,y是椭圆上任意一点，你能够列出关于x,y的方程式么？

设计意图：让学生列出关于x,y的关系式：xc2y2xc2y22a

问题5：如何化简？

设计意图：可以让学生先自己思考试图化简该关系式，然后小组合作探究。小组交流后选取代表展示研究成果，得出处理这类含有2个根号形式的方程的一般方案即将其中一个根号移到等式的另一侧后平方处理更加方便！化简出：a2c2x2a2y2a2a2c2。

教师此时可说明：为了让上述方程形式显得更加简洁，可以令a2c2b2,b0，于是得：

x2y2

bxayab，两边同时除以ab得

221,ab0，焦点ab22222222F1c,0,F2c,0，同时教师板书。[来源:学,科,网Z,X,X,K]

问题6：如何以F1,F2为y轴，以F1F2的中点为原点，建图所示直角坐标系xoy，你能够猜想出此时的椭圆方程

设计意图：让学生通过焦点在x轴上的椭圆的推导方类比推导出焦点在y轴上椭圆的方程为y2x221,ab0，具体推导过程可以让学生作为课后2ab立如么？

法，探究处理！

教师在此时需要指出：以上方程都叫做椭圆的标准方程并板书。

（三）问题引领，深化理解

问题：椭圆的两个标准方程有什么共同特征？

追问1：如何确定焦点的位置？

追问2：a,b,c满足什么关系？

追问3：a,c对应的含义是是什么？

（四）尝试运用，方法内化

练习[来源:Z§xx§k.Com]

x2y2（1）已知椭圆的标准方程为1，则a

，b

，94c

，

焦点在

轴，焦点坐标为

；

x2y2

（2）已知椭圆的标准方程为1，则a

，b

，39c

，

焦点在

轴，焦点坐标为

；

（3）已知椭圆方程16x27y2112，则a

，b

，c

，

焦点在

轴，焦点坐标为

；

（4）已知椭圆方程x22y21，则a

，b

，c

，

焦点在

轴，焦点坐标为

；

设计意图：题目来自教材中练习，安排学生口答，进一步深化理解椭圆的标准方程。

例题

求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）a4,b3,焦点在x轴上；

（2）b1,c15，焦点在y轴上；

53（3）求焦点为F12,0,F22,0，且经过点P,. 22

设计意图：题目来自教材中练习，安排学生板演（1），（2），（3）

教师点评学生解题过程，并通过展台展示（3）的不同解法！

（3）的解法如下：法1：（定义法）由已知可得c2，5353PF1PF22a22210，所以a10,b6，22222222x2y2所求方程为1. 106x2y2

法2：设椭圆方程为：221,ab0则c2

ab52322x2y222a10

2212，所求方程为1. 106abb622ab4小结：求椭圆方程需要注意什么？

设计意图：通过小组合作交流，得出:（1）定位，即确定焦点的位置，（2）定量，即求出a,b的值，方法有定义法，待定系数法. （五）回顾总结，提炼思想

问题：通过本节课的学习，你收获了什么？

设计意图：让学生合作讨论，得出：（1）椭圆的标准方程；（2）求椭圆方程的基本方法；[来源:学科网]

（3）解析几何思想：先研究曲线方程，再根据方程研究性质；（4）类比思想. 追问：可否通过结构图描述本节课所学知识？

椭圆的标准方程

a,b,c的值，焦点的位置

确定焦点的位置选择方程

定义法求a,b 待定系数法求a,b

附：设计反思

本节课是学生已经学习了圆锥曲线的概念，清楚椭圆的定义的基础之上而设计的椭圆的第一节课，本节课的目标就是研究椭圆的标准方程及如何推导。为了让学生便于理解解析几何的研究曲线的一般思路，设计中渗透类比圆的标准方程的研究方法。从本节课课题的揭示到标准方程的呈现，我采用了“问题引领，自主建构”的教学模式，通过精心设计问题，问题之间的环环相扣，遇到学生难以突破的问题，设计多个追问，让学生不知不觉中建构知识体系，让新知识的生成更加自然。同时，本教学设计尽量突出学生的主体地位，尽量给学生留足活动时间，让学生可以充分地自主探究、合作交流、主动展示等，让学生在交流互动中体验知识的生成与发展，在思维的碰撞中经历数学的发现与创造！[来源:学_科_网Z_X_X_K]