公因式为多项式的提公司因式法教学教案设计

4.2．提公因式法（二）

总体说明

本节是因式分解的第2小节，占两个课时，这是第二课时，它主要让学生经历提取公因式从简单到复杂的过程，进一步培养学生的观察能力，体会数学的类比推理能力，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．

一、学生知识状况分析

学生的技能基础：上一节课，学生学习了提取单项式公因式的基本方法，在这个基础上，学生基本上了解了提公因式法的基本步骤和方法，这为今天的深入学习提供了必要的基础．

学生活动经验基础：

学生有了上一节课的活动基础，由于本节课采用的活动方法与上节课很相似，运用观察、对比的方法和运用整体的思想，学生对于这些活动方法较熟悉，有较好的活动经验．

二、教学任务分析

学生在初步感知提取公因式的魅力之后，并对数学的逆向思维能力和类比思想有了简单的认识，本课时让学生体会如何将这些简单的知识和能力进一步升华，使学生逐步从提取的单项式公因式过渡到提取的多项式公因式，且有些是需要变形后才可提取，变形过程中学会选择最优方案使得计算简便。因此，本课时的教学目标是：

认知能力：

1.会用灵活运用提取公因式法进行因式分解．

数学能力：

2.由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、对比等手段，确定多项式各项的公因式，加强学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力．

3.由乘法分配律的逆运算过渡到因式分解，从提取的公因式是一个单项式过渡到提取的公因式是多项式，进一步发展学生的类比思想．

4.寻找出确定多项式各项的公因式的一般方法，培养学生的初步归纳能力．

情感与态度：

通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点．

三、教学目标

1．经历探索多项式因式分解方法的过程，并在具体问题中，能确定多项式各项

的公因式。

2．会用提公因式法把多项式分解因式（多项式中的字母指数仅限于正整数的情况）。

3.进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法。

四、教学重难点

教学重点:用提公因式法把多项式分解因式

教学难点:探索多项式因式分解方法的过程

五、教学过程分析

本节课设计了九个教学环节：温故知新——议一议——例题讲解——做一做——归纳总结——巩固提高——随堂练习——问题解决——小结思考. 第一环节

温故知新：复习提公因式法及注意事项

活动内容：把下列各式因式分解：

把下列各式分解因式：

(1) 8mn2+2mn

(2) a2b-5ab+9b (3) -3ma3+6ma2-12ma

(4) -2x3+4x2-8x

再次强调巩固提取公因式的方法步骤以及注意事项：

【提公因式法分解因式步骤】

第一步、正确找出多项式各项公因式；

1.定系数：各项系数的最大公约数；

2.定字母：相同字母；

3.定指数：相同字母指数的最低次幂. 第二步、提取公因式。

1.提取后的多项式项数不变；

2.公因式与多项式某一项相同时，提取后剩余项为1；

3.多项式首项为负时，先提取“-”再分解.

活动目的：回顾上一节课提取公因式的基本方法与步骤，为学生能从容地把提取的公因式从单项式过渡到多项式提供必要的基础．以演板的形式让学生回忆起提取公因式的方法与步骤，使学生真正理解基本方法和步骤。

第二环节

议一议

活动内容：下列各式中的公因式是什么？

(1)a(x+y)+b(x+y)(2)x(a+3)-y(a+3)2(3)6m(p-3)+15mn(p-3)

活动目的：引导学生通过类比找单项式公因式的方法找出正确的公因式．3道练习题是难易程度是递进的，第（1）（2）小题比较明显，通过观察，学生较容易找到公因式，而第（3）题公因式是3m(p-3)是单项式和多项式的积的形式,有部分学生还需引导才能正确找出. 第三环节

例题讲解

例1 把下列各式因式分解

（1）a(x-3)+2b(x-3)

（2）y(x+1)+y²(x+1)²

（3）x²(a-b)+y²(b-a) 活动目的：板书例题，让学生熟练提取公因式分解因式的过程和方法，强调过程中容易出错的括号等问题。第（3）小题给学生思考的时间，找出a-b和b-a的关系，正确变形后再分解。

第四环节

做一做

活动内容：在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“–”号，使等式成立：

（1）2–a=

（a–2）

（2）y–x=

（x–y）

（3）b+a=

（a+b）

（4）（b–a）2=

（a–b）2

（5）–s²+t²=

(s²-t²) （6）–m–n=

（m+n）

（7）(b-a)³=

(a-b)³

（8）

(b-a)4=

(a-b)4 （9）(a+b)²=

(-a-b)²

（10）(a+b)³=

(-a-b)³

活动目的：培养学生的观察能力，为解决学生在因式分解中感到比较棘手的符号问题提供知识准备．

第五环节

归纳总结

此时由学生归纳所得规律：

（1）a-b 与

-a+b 互为相反数. (a-b)2n

=

(b-a)2n

(a-b)2n+1

=

-(b-a)2n+1

（2）a+b 与

-a-b互为相反数.

(-a-b)2n

=

(a+b)2n (-a-b)

第六环节

巩固提高

活动内容：

1、将下列各式因式分解：

2n+1

=

-(a+b)2n+1

（1）a（x–y）+b（y–x）

（2）6（m–n）3–12（n–m）2

7913试证明：81-27-9能被45整除.

2、活动目的：

有了前面所得规律，学生易观察到多项式中括号内不同符号的多项式部分，并把它们转换成符号相同的多项式；再把相同的多项式作为公因式提取出来．进一步引导学生采用类比的方法由提取的公因式是单项式类比出提取的公因式是多项式的方法与步骤．第2题是利用提取公因式的方法进行数的分解，这里有一定的灵活性，也是体现学生活学活用的能力。

第七环节

随堂练习

活动内容：

1、把下列各式因式分解：

（1）x（a+b）+y（a+b）

（2）6（p+q）2–12（q+p）

（3）2（y–x）2+3（x–y）

（4）mn（m–n）–m（n–m）2 活动目的：学生对于符号问题的解答有一定的困难，因而，需要认真比较这两个

多项式符号上的异同，确定它们是互为相反数还是相等关系．通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对符号的转换的理解是否到位，提取公因式的方法与步骤是否掌握，以便教师能及时地进行查缺补漏．

第八环节

问题解决：

活动内容：某大学有三块草坪，第一块草坪面积为(a+b)2m2，第二块草坪面积为a(a+b)m2，第三块草坪面积为(a+b)bm2，求这三块草坪的总面积。

活动目的：通过学生的讨论，当提取的公因式由两项过渡到三项时，应该采用何种对策，从而进一步提高学生的观察能力与思维能力．

第九环节

小结思考

活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？

掌握了哪些方法？

活动目的：学生经历了一个从简单到复杂、提取的公因式从单项式——两项式——三项式的螺旋式上升的认识过程，对确定公因式的方法及提公因式法的步骤有了进一步的理解，更清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系，掌握类比等数学思想方法．

通过学生的回顾与反思，强化学生对如果提取的公因式是多项式应该采取的方法，进一步清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系，加深对类比数学思想的理解．

作业练习：课本第98页习题4．3第1，2题．

六、教学反思

对学生数学能力及数学思想方法的培养，在初中数学教材中始终渗透在整个初中数学的教学过程．由于一些问题的解决思路常常是相通的，类比思想可以教会学生由此及彼，灵活应用所学知识，它是初中数学一个重要的数学思想．

运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握．如学生在接受提取公因式法时，由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念，由提取的公因式是单项式到提取的公因式是多项式时的分解方法，都是利用了类比的数学思想，从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然，容易理解，没有斧凿的痕迹．

教学中那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是

不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略表层知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略深层知识的真谛．因此数学思想的教学应与整个表层知识的讲授融为一体．