试卷讲评优秀课堂实录

一元二次方程

整理与复习

廉江市第五中学

陈海华

复习目标:掌握一元二次方程的根、一元二次方程的解法、一元二次方程根的情况、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的应用等．本章热门考点可概括为：两个概念，一个解法，两个关系，两个应用，三种思想．

一.两个概念

概念1

一元二次方程的定义

1．当m取何值时，方程(m－1)xm2＋1＋2mx＋3＝0是关于x的一元二次方程？

概念2

一元二次方程的根

2．【2015·兰州】若一元二次方程ax2－bx－2 017＝0有一根为x＝－1，则a＋b＝________．

3．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1，且a＝4－c＋c－4－2，（a＋b）2 018求的值．

2 017c

二.一个解法——一元二次方程的解法

4．选择适当的方法解下列方程：

(1)(x－1)2＋2x(x－1)＝0；

(2)x2－6x－6＝0；

(3)6 000(1－x)2＝4 860；

(4)(10＋x)(50－x)＝800；

(5)【中考·山西】(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.

三.两个关系

关系1

一元二次方程的根的判别与系数的关系

5．在等腰三角形ABC中，三边长分别为a，b，c.其中a＝5，若关于x的方程x2＋(b＋2)x＋(6－b)＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．

关系2

一元二次方程根与系数的关系

6．【2016·梅州】关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不等实根x1，x2. (1)求实数k的取值范围；

(2)若方程两实根x1，x2满足x1＋x2＝－x1·x2，求k的值．

7．设x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2＋4a－2＝0的两个实数根，当a为何值时，x12＋x22有最小值？最小值是多少？

四.两个应用

应用1

一元二次方程的应用

8．【2016·赤峰】如图，一块长5 m、宽4 m的地毯，为了美观，设计了两横、两纵的17配色条纹(图中阴影部分)，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的. 80(1)求配色条纹的宽度；

(2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米的造价为100元，求地毯的总造价．

(第8题)

应用2

配方的应用

9．阅读下面材料，完成填空．

我们知道x2＋6x＋9可以分解因式，结果为(x＋3)2，其实x2＋6x＋8也可以通过配方法分解因式，其过程如下：

x2＋6x＋8＝x2＋6x＋9－9＋8 ＝(x＋3)2－1 ＝(x＋3＋1)(x＋3－1) ＝(x＋4)(x＋2)．

(1)请仿照上述过程，完成以下练习：

x2＋4x－5＝[x＋(______)][x＋(______)]；

x2－5x＋6＝[x＋(______)][x＋(______)]；

x2－8x－9＝[x＋(______)][x＋(______)]．

(2)请观察横线上所填的数，每道题所填的两个数与一次项系数、常数项有什么关系？

10．阅读材料：把形如ax2＋bx＋c(a，b，c为常数)的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab＋b2＝(a±b)2. 13x－2＋x2是x2－2x＋4的三种不同形式的配方，例如：(x－1)＋3，(x－2)＋2x，24222即“余项”分别是常数项、一次项、二次项．

请根据阅读材料解决下列问题：

(1)比照上面的例子，写出x2－4x＋2的三种不同形式的配方；

(2)已知a2＋b2＋c2－ab－3b－2c＋4＝0，求a＋b＋c的值．

五.三种思想

思想1

整体思想

11．已知x＝a是2x2＋x－2＝0的一个根，求代数式2a4＋a3＋2a2＋2a＋1的值．

思想2

转化思想

12．解方程：(2x＋1)2－3(2x＋1)＝－2.

思想3

分类讨论思想

13．已知关于x的方程x2＋2(a－1)x＋a2－7a－4＝0有两个实数根x1，x2. (1)求a的取值范围；

(2)若x12＝x1x2，求方程的两个根及a的值．