小结教案3

1．要注意全称命题、存在性命题的自然语言之间的转换．

2．正确理解“或”的意义，日常用语中的“或”有两类用法：其一是“不可兼”的“或”；其二是“可兼”的“或”，我们这里仅研究“可兼”的“或”．

3．有的命题中省略了“且”和“或”，要正确区分．

4．常用“都是”表示全称肯定，它的存在性否定为“不都是”，两者互为否定；用“都不是”表示全称否定，它的存在性肯定可用“至少有一个是”来表示．

5．在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p，不能顾此失彼．证明题一般是要求就充要条件进行论证，证明时要分充分性和必要性两个方面，防止将充分条件和必要条件的证明弄混．

6．否命题与命题的否定的区别．对于命题“如果p，则q”，其否命题形式为“如果綈p，

则綈q”，其否定为“如果p，则綈q”，即否命题是将条件、结论同时否定，而命题的否定是只否定结论．有时一个命题的叙述方式是简略式，此时应先分清条件p，结论q，改写成“如果p，则q”的形式再判断.

题型一

充分条件与必要条件的理解及判断方法

例1

已知p：－2

解

若关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根，设为x1，x2，则0

有0

x1x2＝n，0

即－2

跟踪演练1

下列各题中，p是q的什么条件？

(1)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，

q：c2＝(a2＋b2)r2.(其中r>0)；

(2)p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1. 解析

(1)若圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，即r＝|c||c|22222222，所以c＝(a＋b)r；反过来，若c＝(a＋b)r，则2222＝r成立，说明圆a＋ba＋bx2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，故p是q的充分必要条件．

(2) 綈q：x＝－1且y＝－1，綈p：x＋y＝－2. ∵綈q⇒綈p，而綈p⇏綈q，∴綈q是綈p的充分不必要条件，从而，p是q的充分不必要条件．

题型二

命题的否定与否命题

例2

写出下列命题的否定．

(1)∀x∈R，x2＋x＋1>0；

11(2)∃x∈Q，x2＋x＋1不是有理数．

32

解

(1)“∀x∈R，x2＋x＋1>0”的否定是“∃x∈R，x2＋x＋1≤0”．

1111(2)“∃x∈Q，x2＋x＋1不是有理数”的否定是“∀x∈Q，x2＋x＋1是有理数”．

3232跟踪演练2

写出下列命题的否命题，并判断其真假．

(1)若m>0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实根；

(2)若x，y都是奇数，则x＋y是奇数．

解

(1)若m≤0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实根，假命题．

(2)若x，y不都是奇数，则x＋y不是奇数．假命题．

题型三

等价转化思想

对于含有逻辑联结词“非”的充分、必要条件的判断，往往利用“原命题与逆否命题是等价命题”进行转化．

x－1例3

已知p：1－≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0 (m>0)，且綈p是綈q的必要而不充分3条件，求实数m的取值范围．

解

方法一

由q：x2－2x＋1－m2≤0，m>0，

得1－m≤x≤1＋m，

∴綈q：A＝{x|x>1＋m，或x<1－m，m>0}，

x－1由1－≤2，解得－2≤x≤10，

3∴綈p：B＝{x|x>10，或x<－2}．

∵綈p是綈q的必要而不充分条件．

m>0，∴AB，∴1－m<－2，1＋m≥10，

m>0，或1－m≤－2，1＋m>10，

即m≥9或m>9.∴实数m的取值范围是[9，＋∞)．

方法二

∵綈p是綈q的必要而不充分条件，

∴q是p的必要而不充分条件，

由q：x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m，

∴q：Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}，

x－1由1－≤2，解得－2≤x≤10，

3∴p：P＝{x|－2≤x≤10}．

∵q是p的必要而不充分条件，，

m>0，∴PQ，∴1－m<－2，1＋m≥10，

m>0，或1－m≤－2，1＋m>10，

即m≥9或m>9.∴实数m的取值范围是[9，＋∞)．

跟踪演练3

已知命题p：x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根；命题q：4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围．

m2－4>0，解

x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根⇔⇔m>2. －m<0

4x2＋4(m－2)＋1＝0无实根⇔16(m－2)2－16<0⇔m2－4m＋3<0⇔1

∴p和q一真一假，

m>2，∴当p真q假时，有

m≤1或m≥3，

解得m≥3；

m≤2，当p假q真时，有

1

解得1

题型四

分类讨论思想

若命题“p∨q”“p∧q”中含有参数，在求解时，可以先等价转化命题p，q，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p∨q”“p∧q”的真假情况分类讨论参数的取值范围．

例4

已知a>0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，如果p和q有且只有一个正确，求a的取值范围．

解

方法一

(1)若p正确，且q不正确，即函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减，曲线151y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴不交于两点，因此a∈(0,1)∩([，1)∪(1，])，即a∈[，1)．

222(2)若p不正确，且q正确，即函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减，曲线y＝x2＋155(2a－3)x＋1与x轴交于两点，因此a∈(1，＋∞)∩[(0，)∪(，＋∞)]，即a∈(，＋∞)．

22215综上，a的取值范围为[，1)∪(，＋∞)．

2215方法二

∵A＝{a|p(a)}＝{a|0}，

22∴p和q有且只有一个正确a∈A∪B且a∉A∩B，

15故a的取值范围为[，1)∪(，＋∞)．

22跟踪演练4

已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，求实数a的取值范围．

解

p真：Δ＝(－a)2－4×4≥0，∴a≤－4或a≥4. aq真：－≤3，∴a≥－12. 4由“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题得：p、q两命题一真一假．

当p真q假时，a<－12；当p假q真时，－4

1．对于命题的判断问题，在高考中往往涉及多个知识点综合进行考查．

考查知识点涉及逻辑联结词、三角函数、不等式、立体几何初步等诸多内容，得到命题者的青睐．该部分的考查重点有两个：(1)是综合其他知识，考查一些简单命题真假的判断；(2)是考查命题四种形式之间的关系．

体现了考纲对“命题、充分条件、三角函数的有界性、不等式的性质以及空间线面关系等”的要求．解决此类问题的关键是灵活根据题干和选择项进行判断，主要是选出错误的命题，所以可以利用特例法确定选择项，即只需举出一个反例即可说明命题是假命题，对于较难判断的问题，可以转化为它的逆否命题的判断来解决．

2．充分条件、必要条件和充要条件是对命题进行研究和考查的重要途径，是高考重点考查的内容，往往在不同知识点的交汇处进行命题，考查面十分广泛，涵盖函数、立体几何、不等式、向量、三角等内容．通过对命题条件和结论的分析，考查对数学概念的准确记忆和深层次的理解．

3．逻辑联结词在近几年的高考试题中经常出现，主要是含有逻辑联结词的命题的判断问题，所以正确理解逻辑联结词的含义，准确把握含有三个逻辑联结词的复合命题的判断方法，熟记规律：已知命题p、q，只要有一个命题为假，p∧q就为假；只要有一个为真，p∨q就为真，綈p与p真假相反．另外注意命题的否定与命题的否命题的区别，这是两个很容易混淆的概念，要准确把握它们的基本形式，不能混淆．

4．解决全称量词与存在量词问题需要注意两个方面：一是准确掌握含有全称量词与存在量词的命题的否定形式，这两类命题的否定形式有严格的格式，不要和一般命题的否命题的形式混淆；二是要掌握判断全称命题与存在性命题的真假的特例法，即只要找出一个反例就可说明全称命题为假，只要找到一个正例就可以说明存在性命题为真．