3.1.3 导数的几何意义第二课时教案

3.1.3

导数的几何意义

[学习目标]

1.了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系.2.理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义.3.会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义．

[知识链接]

如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是导数的实际意义，那么从函数的图象上来考察函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？

答：设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是

Δyfx0＋Δx－fx0＝. ΔxΔx当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线fx0＋Δx－fx0AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝lim. ΔxΔx→0[预习导引]

导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

要点一

已知过曲线上一点求切线方程

例1

若曲线y＝x3＋3ax在某点处的切线方程为y＝3x＋1，求a的值．

解

∵y＝x3＋3ax. x＋Δx3＋3ax＋Δx－x3－3ax∴y′＝lim

ΔxΔx→0

1

3x2Δx＋3xΔx2＋Δx3＋3aΔx＝lim

ΔxΔx→0＝lim[3x2＋3xΔx＋(Δx)2＋3a]＝3x2＋3a. →Δx0设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)，

23x0＋3a＝3，结合已知条件，得3

x0＋3ax0＝y0＝3x0＋1，

a＝1－22，解得34x＝－230

3∴a＝1－2. 2规律方法

一般地，设曲线C是函数y＝f(x)的图象，P(x0，y0)是曲线C上的定点，由导数fx0＋Δx－fx0Δy的几何意义知k＝lim＝lim，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切ΔxΔx→0ΔxΔx→0线方程．

112，处的切线方程．

跟踪演练1

求曲线y＝在点2x11－2＋Δx2f2＋Δx－f2解

因为Δlim＝Δlimx→0x→0Δx

Δx－112，1处的切线斜率为－1，由直线的点斜式方程＝Δlim＝－.所以这条曲线在点x→022＋Δx24411可得切线方程为y－＝－(x－2)，即x＋4y－4＝0. 24要点二

求过曲线外一点的切线方程

例2

已知曲线y＝2x2－7，求：

(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0? (2)曲线过点P(3,9)的切线方程．

[2x＋Δx2－7]－2x2－7Δy解

y′＝lim＝lim

ΔxΔx→0ΔxΔx→0＝lim

(4x＋2Δx)＝4x. →Δx0(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，

∴切点坐标为(1，－5)．

(2)由于点P(3,9)不在曲线上．

设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，

故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．

将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式，

2得9－(2x0－7)＝4x0(3－x0)．

2

解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．

从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0. 规律方法

若题中所给点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．

1跟踪演练2

求过点A(2,0)且与曲线y＝相切的直线方程．

x解

易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P(x0，y0)，由

11－x0＋Δxx01y′|x＝x0＝Δlim＝－

x→0Δxx201得所求直线方程为y－y0＝－2(x－x0)．

x02由点(2,0)在直线上，得x0y0＝2－x0，再由P(x0，y0)在

曲线上，得x0y0＝1，联立可解得x0＝1，y0＝1，

所求直线方程为x＋y－2＝0. 要点三

求切点坐标

例3

在曲线y＝x2上过哪一点的切线，

(1)平行于直线y＝4x－5；

(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；

(3)倾斜角为135°. fx＋Δx－fxx＋Δx2－x2解

f′(x)＝Δlim＝Δlim＝2x，设P(x0，y0)是满足条件的点．

x→0x→0ΔxΔx(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，

所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4，

即P(2,4)是满足条件的点．

(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，

139所以2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝，

32439－，是满足条件的点．

即P24(3)因为切线的倾斜角为135°，

所以其斜率为－1.即2x0＝－1，

11得x0＝－，y0＝，

2411－，是满足条件的点．

即P24规律方法

解答此类题目时，所给直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数

3

在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等．

跟踪演练3

已知抛物线y＝2x2＋1，求：

(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0? 解

设点的坐标为(x0，y0)，则

2Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx). Δy∴＝4x0＋2Δx. ΔxΔylim＝lim

(4x0＋2Δx)＝4x0，

Δx→0ΔxΔx→0即f′(x0)＝4x0. (1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，

∴斜率为4，

即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该切点为(1,3)．

(2)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，

∴切线的斜率为8，

即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该切点为(2,9).

1．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为(

) A．4B．16 C．8D．2 答案

C f2＋Δx－f222＋Δx2－8解析

f′(2)＝lim＝lim＝lim

(8＋2Δx)＝8，即斜率k＝8. ΔxΔxΔx→0Δx→0Δx→02．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(

) A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1 答案

A 解析

由题意，知k＝y′|x＝0

0＋Δx2＋a0＋Δx＋b－b＝lim＝1，∴a＝1. ΔxΔx→0

4

又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A. 311，－，则过点P的切线的倾斜角为(

) 3．已知曲线y＝x2－2上一点P22A．30°B．45°C．135°D．165°

答案

B 1解析

∵y＝x2－2，

2121x＋Δx2－2－2x－22∴y′＝Δlim

x→0Δx1Δx2＋x·Δx2x＋1Δx＝x. ＝Δlim＝limx→0Δx→02Δx31，－处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°∴y′|x＝1＝1.∴点P. 24．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16.则P点坐标为________．

答案

(3,30) 解析

设点P(x0,2x20＋4x0)，

fx0＋Δx－fx0则f′(x0)＝lim

ΔxΔx→02Δx2＋4x0·Δx＋4Δx＝lim＝4x0＋4，

ΔxΔx→0令4x0＋4＝16得x0＝3，∴P(3,30)．

1.导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，

fx0＋Δx－fx0即k＝lim＝f′(x0)．

ΔxΔx→02．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个具体数值，不是变量，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导函数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．

3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．

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