1.4.3 含有一个量词的命题的否定优秀公开课教案

1.4.3

含有一个量词的命题的否定

教学目标

1.知识与技能

通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．

2．过程与方法

通过观察命题、科学猜想以及通过参与过程的归纳和问题的演绎，培养学生的观察能力和概括能力；通过问题的辨析和探究，培养学生良好的学习习惯和反思意识．

3．情感、态度与价值观

通过引导学生观察、发现、合作与交流，让学生经历知识的形成过程，增加直接经验基础，增强学生学习的成功感，激发学生学习数学的兴趣．

教学重点：正确理解对含有一个量词的命题进行否定．

教学难点：正确理解对含有一个量词的命题进行否定．

重、难点突破方法：通过设置大量丰富的例子，引导学生观察、发现、合作与交流，认识全称命题与存在性命题之间有可能转化，它们之间并不是对立的关系；对实例分析要恰当到位，务必理清各类型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整地表达出命题的否定．

教材分析：学生在学习了全称命题特称命题及非p命题的知识后，进一步学习这节课的内容，学生已有了命题的基础学起来比较容易，但否定词是学生容易忽略的，应提醒学生。以学生探究为主学习全称命题的否定与特称命题的否定，全称命题与特称命题的否定的本章的重点，也是一个难点，在否定的过程中应注意全称量词与存在量词之间的相互转化，重点是在意义上理解命题的否定。

学情分析：学生基础比较差，理解能力差，题型要反复练习才能巩固，所以安排的练习题比较多，在关键地方要给学生以提示。

教学方法：合作探究法，讲练结合法. 教学过程：

一、复习回顾

1、什么叫做全称量词，全称命题？

短语“所有的”“任意一个” 在逻辑中通常叫做全称量词．用符号“”表示。

含有全称量词的命题，叫做全称命题

简记为:xM,p(x)

2、什么叫做存在量词，特称命题？

短语“存在一个”“至少一个” 在逻辑中通常叫做存在量词．用符号“”表示。

含有存在量词的命题，叫做特称命题。

简记为:xM,p(x)

3.命题的否定与否命题有什么区别？

命题的否定是把这个命题的结论进行否定，

而否命题是这个命题的条件和结论同时否定.

二、合作探究

写出下列命题的否定：

（1）所有的矩形都是平行四边形

（2）有些平行四边形是菱形

提问：1．对（1）的否定能否写成：所有的矩形都不是平行四边形？

提示：不能．

2．对（2）的否定能否写成：有些平行四边形不是菱形？

提示：不能.

3.（1）否定：并非所有的矩形都是平行四边形，

也就是说，存在一个矩形不是平行四边形.[来源 [来

（2）否定：没有一个平行四边形是菱形. 也就是说，任意一个平行四边形都不是菱形.[来源

4. 从形式看，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

5.

特称命题p 特称命题的否定：┒p ∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，┒p(x) 全称命题的否定：┒p ∃x0∈M，┒p(x0) 命题

全称命题p 命题的表述

∀x∈M，p(x)

三、知识应用

例1、写出下列全称命题的否定：

（1）p：所有能被3整除的数都是奇数；

（2）p：每一个平行四边形的四个顶点共圆；

（3）p：对任意xZ，x2的个位数字不等于3. （4）p：所有的正方形都是矩形. 解：（1）┒p：存在一个能被3整除的数不是奇数；

（2）┒p：存在一个平行四边形的四个顶点不共圆；

（3）┒p：存在一个xZ，x2的个位数字等于3. （4）┒p：存在一个正方形不是矩形

方法小结：全称命题p：xM,p(x)，它的否定p：x0M,p(x0). 说明：全称命题的否定是特称命题. 变式练习：命题“对任意的xR,x3x210”的否定是（ C ）. A. 不存在xR,x3x210 B. 存在xR,x3x210

C. 存在xR,x3x210 D. 对任意的xR,x3x210

例2、写出下列特称命题的否定：

2（1）p：x0R,x02x020；

（2）p：有的三角形是等边三角形；

（3）p：有一个素数含有三个正因数. （4）p：至少有一个实数x，使x310. 解：（1）┒p：xR,x2x20；

（2）┒p：所有的三角形都是等边三角形；

（3）┒p：所有的素数都不含有三个正因数. （4）┒p：所有的实数x，都有x10. 方法小结：特称命题p：x0M,p(x0)，它的否定p：xM,p(x). 说明：特称命题的否定是全称命题. 变式练习：对下列命题的否定说法错误的是（ C ）. A. p：能被3整除的数是奇数；p：存在一个能被3整除的数不是奇数

32

B. p：每个四边形的四个顶点共圆；p：存在一个四边形的四个顶点不共圆

C. p：有的三角形为正三角形；p：所有的三角形不都是正三角形

22D. p：xR,x2x20；p：xR,x2x20

例3.写出下列命题的否定，并判断其真假．

(1)p：不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；

(2)q: 存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0；

(3)r：等圆的面积相等，周长相等；

(4)s：对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1. 思路探究：(1)这些命题是特称命题还是全称命题；(2)如何写出全称命题(或特称命题)的否定并判断真假？

解析：(1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x＋x－m＝0有实数根”，则其┒p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”．

1因为当Δ＝1＋4m＜0时，即m＜－时，一元二次方程没有实数根，所以┒p是真4命题．

(2)┒q：对所有实数x，都有x2＋x＋1＞0. 利用配方法可以证得┒q是一个真命题．

(3)┒r：“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”.

由平面几何知识知┒r是一个假命题．

(4)┒s：“存在α∈R，使sin2α＋cos2α≠1”．

由于命题s是真命题，所以┒s是假命题．

方法小结：

对“含有一个量词的命题p的否定”的真假判断一般有两种思路：一是直接判断┒2p的真假，二是用p与┒p的真假性相反来判断．

变式练习：写出下列命题的否定，并判断其真假．

1(1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0；

4(2)q：所有的正方形都是矩形；

(3)s：至少有一个实数x0，使x30＋1＝0. 1解析：(1) ┒p：∃x0∈R，x20－x0＋＜0．

4

11因为∀x∈R，x2－x＋＝(x－)2≥0恒成立．所以p为真命题，┒p为假命题．

42(2) ┒q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．

(3) ┒s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．

因为x＝－1时，x3＋1＝0.

四、课堂小结

1．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，在写命题的否定时，一要注意量词的改写，二要注意结论的否定．另外，要注意原命题中是否有省略的量词，如是这种情况，应将量词补充后再写它的否定. 2.

对“含有一个量词的命题p的否定”的真假判断一般有两种思路：一是直接判断┒p的真假，二是用p与┒p的真假性相反来判断．

3.

一些量词的否定：

词语

词语的否定

词语

是

不是

一定是

一定不是

都是

不都是

大于

小于

且

小于或等于

大于或等于

或

所有x不成立

或

至少有一个

至少有n个

至多有一个

所有x成立

词语的否定

一个也没有

至多有n1个

至少有两个

五、课后作业

见配套课后作业

存在一个x存在有一个不成立

成立

且