二、圆锥曲线的离心率与统一方程第二课时教案

教学设计方案

课题名称：圆锥曲线的离心率与统一方程

姓名：

学科年级：

一、教学内容分析

《圆锥曲线的离心率统一定义》是人教版高中数学选修2-1第二章第四节后的课后阅读内容。本教科书对本章总体设计思路是“总―分―总”,即先从整体上认识圆锥曲线的概念,了解椭圆、双曲线和抛物线的内在关系,再运用方程思想分别研究椭圆、双曲线和抛物线的几何性质,进而通过统一定义从总体上进一步认识三种圆锥曲线的关系。圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性,它是无数次实践后的高度抽象.恰当地利用定义解题,许多时候能以简驭繁.因此,在学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程、几何性质后,再一次强调定义,学会利用圆锥曲线定义来熟练的解题”最后在学生对直线、圆及圆锥曲线的感性认识的基础上建立曲线方程的概念,并用方程观点认识和研究曲线交点等问题。这一设计体现了数学的文化价值、科学价值及应用价值,反映了数学的美学意义,遵循了“适度形式化”的课程理念。

范倩楠

数学

高二

工作单位：

教材版本：

河北定州中学

人教A版

二、教学目标

知识与技能：理解圆锥曲线的定义，能灵活应用定义解决问题；能结合平面几何的基本知识求解圆锥曲线的方程.

过程与方法：。通过问题探究，深化对圆锥曲线定义的理解，

培养思维的深刻性、创造性、科学性和批判性,提高想象力及分析、解决问题的能力；通过对问题的不断引申,精心设问,引导学生学习解题的一般方法及联想、类比、猜测、证明等合情推理方法. 情感态度与价值观：借助多媒体辅助教学,激发学习数学的兴趣.在民主、开放的课堂氛围中,培养学生敢想、敢说、勇于探索、发现、创新的精神.同时通过合作讨论培养学生的合作精神，从而优化学生的思维品质；在分析问题、解决问题中，提升学生的人生观、世界观。

教学重点：1. 对圆锥曲线统一定义的理解

2. 利用圆锥曲线的统一定义求“最值” 教学难点：1. 巧用圆锥曲线定义解题

2. 围绕学生对圆锥曲线定义理解的问题，归纳分析

三、学习者特征分析

1、学生的知识与能力储备：对圆锥曲线的统一定义和性质,鼓励学生根据方程形式、图形特征进行直觉猜想,通过对特殊情形的研究引发从特殊到一般的归纳猜想。同时,也不忽视让学生适当运用方程等工具进行逻辑探索,从各个侧面、不同层次上提高学生的数学素养。

2、学生可能遇到的困难：

①学生初中知识的负迁移，初中学习时定义少、运算多、

重视运算规律，忽视了对定义的深刻理解，从而不会主动的用定义.

②思维习惯上的问题，一味的追求方法、技巧、模仿、记忆多，理解、探究少，数学思维层次不高，忽视数学概念的本质. ③关注知识的背景和应用不够，导致学习过程不完整，几何意义方面的运用不熟练. ④数学语言间的转化不够，代数方程式的不理解等. 四、教法分析

新课程标准指出，高中数学课应倡导自主探索，动手实践，合作交流等学习方式，应该力求通过不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的过程，培养他们的创新意识。结合本节课的内容，我主要采用小组合作探究的形式，创设各种问题情境，使学生带着问题去主动思考、动手操作、交流合作，帮助学生构建完善的知识结构和正确的解题思路。

教学方法：本节课我主要采用实验法、小组合作探究、类比、引导发现法、感性体验法进行教学。

学法指导：在逐步发现圆锥曲线的统一定义的过程中激发学生的好奇心和兴趣，主动参与知识的发生、发展过程，学会学习 五、教学过程

创设情景（提出问题）

探索解决问题的方法（建立数学模型）

方法尝试（感性认识）

理解升华（理性认识）

课堂小结（反馈与提高）

教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，

从而培养学生的创新意识。

六、教学手段

借助实验调动学生的积极性； 借助多媒体展示生活实例,激发学生的兴趣。

七、教学过程

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

创设情境引入问题

1.通过观察一些建筑等的图片，你会发现有许多事物都是由曲线构成，它们不仅给我们的生活带来方便，还能提供视觉美感. 2. 在数学当中，我们也有专门定义的一类教师：从形中让学生感受圆锥曲线的统一，为曲线——圆锥曲线，后面的统一定义埋下伏笔。

它在我们的生活中也学生：前面独立的学习了三种圆锥曲线，初步有广泛的应用. 感知三者也许可以统一，产生浓厚的学习兴趣。

鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的．心理学认为“迁移就是概括”，抓住认

知突破口——学生的概括过程。 从而引入本节课的新课内容。

1.

回顾椭圆，双曲线，抛物线的定义，方程，以及对应的图像，离心率探

索

解

决

问

题

的

方

法

e的范围。

2.

利用信息技术作图：点F是平面上的一个定点，l是平面上不过点F的一条定直线。点M到点F的距离和它到定直线l的距离之比是一个常数e。

1、感性体验：

2、动手实验：通过几何画板和实验调动学可以发现,点M的轨迹是圆锥曲线,并且生的积极性，初步了1.当0e1时,轨迹是椭圆;解圆锥曲线可以有一2.当e1时,轨迹是双曲线;个统一的形式，同时3.当e1时,轨迹是抛物线.学生通过亲自参与探究圆锥曲线的统一定义的发现过程，体验了学数学的乐趣。

引导

帮助学生深刻的学生

概1.

归纳概况圆锥曲线的统一定义

平面上到一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离之比是一个常数e的点的轨迹是圆锥曲线,其中点F是它的焦点,直线l是它的准线,比值e是它的离心率.体会圆锥曲线的统一定义，定义的统一，括, 2.

根据圆锥曲线的形成

科学

统一定义，求解圆锥曲线的统一方程。

方程的统一，使得圆

教师：根据圆锥曲线的统一定义能否求解圆锥锥曲线的整体学习有曲线的统一方程？求解曲线方程的解题过程是了升华。能够提高学什么？

习的兴趣，调动学习学生：建、设、限、代、化、验。

小组合作，推导圆锥曲线的统一方程。

的积极性。

方法

巩

固

认

结

构，

F2的弦，试分析以AB

充

实

为直径的圆和右准线计算量大，引导学生从统一定义出发可以大大l的位置关系. 的简化运算。从而强化认知

规范。

生在书写表达上是否牛刀小试

例题与练习的设置为教师引导学生回顾圆锥曲线的统一定义，了解为F2，AB为椭圆中过其应用。 圆锥曲线的统一定义分析障碍点：学生从纯代数的角度进行计算，的本质，同时注意学了让学生应用中感受知

例1.设椭圆的右焦点认

变式：圆锥曲线改为知

双曲线、抛物线，结过

果又是如何呢？

程

1、圆锥曲线的统一定义：

除了圆之外，每师一条圆锥曲线都是平生面上到某个定点F和共到某条定直线l的距同离的比值等于常数的总点的轨迹.

结2、形的统一和方程的概统一。

括3、

本节课所涉及到提的数学思想方法有：

升

类比、归纳等思想方法．

学生自主小结谈收获：

锻炼学生归纳总结的能力

教师提出后续可能会

出现的问题，为进一1ex22y22pe2xp2e20

.步深入学习做铺垫，

分层作业

必做：1. (09全国卷) 已知直线

y=k(x+2) (k>0) 与抛物线y2=8x 相交于 A、B两点， F为 C的焦点，若 |FA|=2|FB|，则k= ( )

2.（09四川卷）已知直线

l1: 4x –

3y+6=0 和直线 l2: x 2= -1，抛物线y = 4x 上一动点P 到直线l1

和直线l2

的距离之和教师因材施教，不同难度的题型，让每个学生的最小值是（ ）

选做：1．若过原点的都掌握圆锥曲线的统一定义的解题过程，以及22直线与圆x

+y

+ 认识到圆锥曲线的统一定义的适用范围很广。

分层作业让每个学生都学有所获。

4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是

2．抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，其上一点P (m，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为

八、板书设计

圆锥曲线的离心率与统一定义

一、知识归纳

二、例题分析

1、

圆锥曲线的统一定义

例1、（教师板书）

例2、（学生板演）

统一方程的推导

2、注意要点：

九、教学评价设计

本课主要采用实验、启发、引导、点拨的方式，创设各种问题情境，使学生带着问题去主动思考、动手操作、合作探究，进而达到对知识的“发现”和“接受”，完成知识的内化，使书本的知识成为自己的知识。这也正好体现了荷兰数学教育家弗赖登塔尔的建构主义教学观。同时使学生感受到数学生活化、生活数学化的美好境界。

十、教学评价

成功之处：

1.充分考虑学生的认知水平，精心设计每一个教学环节，力争课堂有趣，有效。

2.注重学生思维品质的培养，充分类比，力求使知识发生的过程是自然的。

3.突出学生的主体地位，营造和谐宽松的学习氛围。

不足之处：由于时间关系，有些环节可能略显紧凑。

十一、教学反思

在必修2中我们学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念及求法己经有一定理解，前面又详细学习了圆锥曲线中椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程、几何性质，以及简单应用，通过抛物线的学习加深了学生对圆锥曲线统一的认识，提高对坐标法这一解析几何基本方法的应用能力，提高学生综合能力。 本节在抓好基础知识的同时，注重激发学生学习的兴趣，同时注重学生在自我探索过程中发现知识，培养探究意识。让学生成为一名自主的学习者和探索者，让学生处在一种对知识的追求状态中。 圆锥曲线统一定义很简单但非常重要，学习时指导学生注意和抛物线定义相联系。由抛物线定义导入新课，将比值1改变，曲线会是什么形状,学生先猜想，后从形和数两个方面进行验证。从探究——猜想——证明这一过程中，学生获取了知识，而且加深了理解。教师作为热烈讨论的平等氛围中的引导者，鼓励学生大胆探究、勇于创新，积极谈论和参与体验，留给学生更多的思考和探索，转变学习方式。验证学生的结果。 在教学过程中，结合本节课的具体内容，确立启发探究式教学、互动式教学法进行教学

这两种教学方法，体现了认知心理学的基本理论。课堂上为学生的主动参与提供充分的时间和空间，让不同程度的学生勇于发表自己的各种观点(无论对错)，选出代表上讲台讲解等做法，学生勇于展示。每个学生都经过独立思考后在前后左右的同学形成小组中进行了交流讨论，共同进步。借助与多媒体设备，用了几何画板软件辅助作图，动画、影像等多种形式强化对学生感观的刺激，可以极大提高学习兴趣，变抽象为直观，加大一堂课的信息容量。 当然在学生的推理证明过程中也发现了一些问题，学生对字母运算能力欠佳，学生对运算的熟练还不够，他们总是担心会出问题，特别是解方程题缺乏化简的能力，这在今后的教学过程中还得加大训练。