信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆板书设计及设计说明

《椭圆的定义与标准方程》教学设计

莆田擢英中学

林雅彬

一、教材分析

解析几何是数学一个重要的分支,它沟通了数学中数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系．本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学》（湖南教育出版社）选修2—1（理科）第二章第一节《椭圆及其标准方程》第一课时．在选修2—1第二章，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题．由于教材以椭圆为重点说明了求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法，然后在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用．本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等．因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值．

二、学情分析

这节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念以及用坐标法研究几何问题的方法有了一些了解和认识，基本能运用求曲线方程的一般方法求曲线方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线的第一课.具有巩固旧知、熟练方法、拓展新知的承上启下作用，可为研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础，是发展学生自主学习能力，培养创新能力的好素材.

三、教学目标

1．知识与技能目标：

①理解椭圆的定义；

②理解椭圆的标准方程的推导，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力；

③掌握椭圆的标准方程；会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标．

2．过程与方法目标：

①经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力；

②巩固用坐标化的方法求动点轨迹方程；

③对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识．

3．情感态度价值观目标：

①充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识；

②重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣；

③通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风；

④通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美；

四、重点与难点

重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程、坐标化的基本思想．

难点：椭圆标准方程的推导与化简．

五、教法分析

本节课的设计力图体现“教师为主导，学生为主体”的教学设想．在教学过程中始终本着“教师是课堂教学的组织者、引导者、合作者”的原则，让学生通过实验、观察、分析、推理、交流、合作、小结、反思等过程建构新知识，并初步学会从数学角度去观察事物和思考问题，激发学生学习数学的热情和兴趣

．

六、教学过程

1.复习巩固 导入新课

（一）课题引入

师:今天要学习的是椭圆，生活中的椭圆形状物体（课件展示），先从画椭圆开始学习。

设计意图：

生活实物直接导入课题，调节课堂气氛，同时让学生明确本节课学习内容。

2.突出认知

建构概念

（二）新课讲解

请同学看一个数学实验：利用道具在黑板上画出椭圆草图（为方程推导做准备）

师：直观判断一下，画出的图形是什么？（学生回答）再用课件展示

你能举几个生活实例吗？（学生回答）

师：这种形状生活中很常见（展示椭圆形状的一些实物）.

设计意图：

（1）在动手实验中，培养学生观察、辨析、归纳问题的能力,（2）在此用生活实物作道具，调节课堂气氛，同时让学生感知数学与生活息息相关；激发学生学习兴趣.

3.注重本质

理解概念

师：请同学们根据刚才画椭圆的实验，类比圆的定义，请你给椭圆下个定义。

生：思考，讨论.

师：提问，总结.然后指导学生看课本定义.

椭圆定义：平面上到两个定点F1、F2的距离的和为固定值（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆.这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距.

师：你觉得椭圆的定义中要注意什么？

生：平面上、距离和、大于|F1F2|（教师使用课件演示等于和小于|F1F2|的情况）.

师：数学概念的定义，它是数学中最本质的内容.

准确的定义是研究的前提.结合刚才的实验，及椭圆的定义，椭圆形状由什么决定？

生：（思考）.由两定点间的距离和所给的固定值决定.

师：对！两定点的位置只会影响椭圆的位置，对椭圆的大小和形状不会产生影响.

设计意图：

数学概念、定理是数学的灵魂，只有准确把握好数学概念、定理的教学，让学生充分、

深入地理解数学概念、定理，才能真正理解问题的本质，灵活应用.在概念的理解上，突出关键字的解读，体会数学的严谨性. 4.深化研究

构建方程

师：知道了椭圆的定义，那接下来一起来推导椭圆的方程，类似圆方程的推导过程（课件展示圆方程推导过程），先？再？然后？

（师生合作椭圆方程的推导．）

①建系：

师：理论上，怎么建系都能得出椭圆方程，但建系一般以“简洁、对称”为好．

以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图所示坐标系．

②设点：设P(x，y)是椭圆上的任意一点，|F1F2|2c，F1(c，0)，F1(c，0)；

(xc)2y2(xc)2y22a. ③列式：根据条件|PF1||PF2|2a，得师：如何化简？

生：两边同平方．

师：对，根式化简的基本思路就是去根号，化简这个等式的方法就是两边同平方！

④化简：（移项，两边平方）(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)，

师：能否美化结论的形象？

ac0，a2c20，令a2c2b2，

222222则：bxaxab．

师：还可以再变形，

∴椭圆方程为：y

P

xy1（ab0）．

22ab22F1

O

F2

x

⑤检验：从上述过程可以可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程，以方程的解(x,y)为坐标的点到椭圆的两个焦点F1(c,0),F2(c,0)的距离之和为2a，即以方程的解为坐标的点都在椭圆上，（这一点只要验证以上推导步骤每一步都可逆，有兴趣的同学可以课后去分析一下），由此，根据曲线与方程的关系可知，方程就是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程．它的焦点在x轴上，两个焦点坐标分别是F1(c,0),F2(c,0)，这里a2b2c2．

设计意图：（1）这是本节的教学难点，学生独立完成时间花费较多，这里教师与学生合作完成，突破难点，提高课堂效益.通过设问如何化简带根号的等式，学生思考，突破难点；

（2）进一步熟悉用坐标法求动点轨迹方程的方法，掌握化简含根号等式的方法，提高运算能力，养成不怕困难的钻研精神，感受数学的简洁美、对称美. 5.多向分析 提高辨识

思考1：如果把椭圆的焦点放在y轴上建系，椭圆的方程是什么？

师：模仿上述过程，椭圆的焦点放在y轴上，即以直线F1F2为y轴，线段F1F2的垂直x2y2平分线为x轴，容易知道，只要把221（ab0）中的x、y对换即可得到，此aby2x2时椭圆的方程是221,这个方程也是椭圆的标准方程．焦点坐标是？（由学生回答

）abF1(0,c),F2(0,c)

师：注意：椭圆的标准方程是一个专用名称，只有这两种形式的方程才是椭圆的标准方程；为了区分，通常我们把焦点在x轴上的椭圆称为是“X型椭圆”，焦点在y轴上的椭圆称为是“Y型椭圆”

．

思考2：“X型椭圆”

和“Y型椭圆”如何区分？

（学生思考回答）

看焦点位置，焦点位置又可以根据分母的大小确定．

设计意图：通过椭圆的焦点在y轴上椭圆标准方程的推导，养成学生扎实严谨的科学态度；体会数学中的化归思想，化未知为已知，避免重复劳动.

6. 应用拓展，提高能力

师：接下来我们再两个例题来熟悉椭圆．

x2y2问题一：例1、已知椭圆的方程为：





1

，请填空：

2516(1)

a=__，b=__，c=__，

焦点坐标为______________,

焦距等于__. (2)

若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，

并且CF1=2, 则CF2=___

(3)

画出该椭圆的草图

2216x9y144

试口答完成上面的填空. 变式：

若椭圆的方程为

师：总结提升．

（1）焦点坐标的求解，应“先定型再定量”，即应该先确定是“X型椭圆”

还是“Y型椭圆”，必要时，先对方程进行变形，化成标准方程形式。

c2a2b2，求c的大小，写出焦点坐标．

（2）由 （3）椭圆的定义知椭圆上每一点到两焦点的距离的和就是2a。

设计意图：明确椭圆两种标准方程的形式和特征，进一步理解椭圆的焦点位置与标准方a,b,c的数量关系的理解。

程之间的关系，加深对椭圆方程的理解.强化对 问题二，根据下列条件求椭圆方程

(1)a=4.c=1 焦点在x轴；焦点在y轴；焦点在坐标轴

变式(1)焦点在(1,0)、(1,0)，椭圆上每个点到两个焦点的距离之和为8，

变式（2）焦距为6，椭圆上每个点到两个焦点的距离之和为8，

（2）焦点在(3,0)、(3,0)，过P(0,1)

问题三，求椭圆方程的一般步骤是？

师：总结提升．

a,b,c即定量。

（1）求椭圆方程，应先确定焦点位置即定型，再确定 （2）椭圆焦点位置不确定时，应注意分情况讨论

设计意图：（1）进一步提升学生对椭圆定义的理解；初步掌握求椭圆方程的两种求法，（定义法和待定系数法）.

7. 回顾反思，提升经验

师：现在请同学们思考从知识上、方法上思考，这节课有什么收获？

生：议论、合作、回答．

师：总结提升：

（1）从知识上看，这节课主要内容就是标题，即“椭圆及其标准方程”，同学们应该仔细体会椭圆概念，及其椭圆标准方程的特点

（2）从数学思想方法上看，同学们可体会

本节课的知识点已经归纳，但最重要的，也是贯穿本节课始终，起到灵魂作用的却是三大数学思想，即化归与转化的数学思想，数形结合的数学思想，分类的数学思想．数学思想才是数学的灵魂所在，也是数学的魅力所在，对我们解决问题起着绝对的指导作用。触摸数学、感受数学、欣赏数学，愿我们每个同学在今后的学习中体会和感悟！．

设计意图：让学生自己先总结本节的知识和方法，以提高学生自我获知知识的能力，为学生的长期发展打下基础.

教师根据的信息适时地归纳与提炼,帮助学生提升学习经验.

8.作业布置，巩固新知

（作业另附）

设计意图：（1）学生巩固所学知识，为学有余力的同学留有进一步探索、发展的空间；

（2）针对学生具体情况，自己编制课时作业，符合学情.

9.板书设计：