小结教学设计一等奖

雷州八中高效课堂数学学科导学稿（学生版）

编号

SX07 主编人：谭立奇

审稿人：

定稿日：2018.4.21

协编人：

使用人：高三理科学生

班级:

组别:

姓名:

组内评价：

教师评价：

课题：第三讲

空间向量与立体几何（理科高考二轮复习课）

[考情分析]

高考中此部分命题较为稳定，以解答题的形式考查空间平行关系和垂直关系的证明，空间几何体表面积和体积的计算，异面直线所成的角、线面角和二面角的求解，简单的空间距离的求解，难度中等偏上．其中解答题的基本模式是既有证明也有计算，其中的计算离不开证明，以考查证明为主.

年份

卷别

Ⅰ卷

Ⅱ卷

考查角度及命题位置

面面垂直与二面角求法·T18

异面直线所成角求法·T10

线面平行与二面角求法·T19

线与线所成角问题·T16

面面垂直与二面角求法·T19

面面垂直的证明及二面角的求解·T18

线面垂直证明及二面角的求解·T19

线面平行的证明及线面角的求解·T19

面面垂直的证明、异面直线所成角的求解·T18

空间点线面的位置关系及线面角的求解·T19

[真题自检]

1．(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于1底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．

2(1)证明：直线CE∥平面PAB；

(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值．

2017

Ⅲ卷

Ⅰ卷

2016

Ⅱ卷

Ⅲ卷

2015

Ⅰ卷

Ⅱ卷

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解析：(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF.因为E是PD的中点，所以EF∥AD，11EF＝AD.由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD，又BC＝AD，所以EF綊BC，四边形BCEF22是平行四边形，CE∥BF，又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，故CE∥平面PAB. →(2)由已知得BA⊥AD，以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，→|AB|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则

→→A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1，3)，PC＝(1,0，－3)，AB＝(1,0,0)．

设M(x，y，z)(0

→→BM＝(x－1，y，z)，PM＝(x，y－1，z－3)．

因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而n＝(0,0,1)是底面ABCD的法向量，所以|cos→〈BM，n〉|＝sin 45°，|z|2222＝2，

x－1＋y＋z即(x－1)2＋y2－z2＝0.

①

→→又M在棱PC上，设PM＝λ

PC，则

x＝λ，y＝1，z＝3－3λ.

②

由①，②解得y＝16z＝－2x＝1＋所以M1－2，2

(舍去)，或y＝1，6z＝2，x＝1－2，2

2626→，从而AM＝1－，1，. ，1，2222设m＝(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，

→AM＝0，m·则

→AB＝0，m·

2－2x0＋2y0＋6z0＝0，即

x0＝0，所以可取m＝(0，－6，2)．

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m·n10于是cos〈m，n〉＝＝. |m||n|5因此二面角M-AB-D的余弦值为10. 52．(2016·高考全国Ⅰ卷)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°. (1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC；

(2)求二面角E-BC-A的余弦值．

解析：(1)证明：由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，

所以AF⊥平面EFDC. 又AF⊂平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC. (2)过D作DG⊥EF，垂足为G.由(1)知DG⊥平面ABEF. →→以G为坐标原点，GF的方向为x轴正方向，|GF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz. 由(1)知∠DFE为二面角D-AF-E的平面角，故∠DFE＝60°，则|DF|＝2，|DG|＝3，可得A(1,4,0)，B(－3,4,0)，E(－3,0,0)，D(0,0，3)．

由已知得AB∥EF，所以AB∥平面EFDC. 又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，故AB∥CD，CD∥EF. 由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，

所以∠CEF为二面角C-BE-F的平面角，∠CEF＝60°. 从而可得C(－2,0，3)．

→→→→所以EC＝(1,0，3)，EB＝(0,4,0)，AC＝(－3，－4，3)，AB＝(－4,0,0)．

设n＝(x，y，z)是平面BCE的法向量，

→EC＝0，n·x＋3z＝0，则即所以可取n＝(3,0，－3)．

→4y＝0，EB＝0，n·

→AC＝0，m·设m是平面ABCD的法向量，则

→AB＝0，m·n·m219同理可取m＝(0，3，4)．则cos〈n，m〉＝＝－.故二面角E-BC-A的余弦|n||m|19

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219值为－. 19

向量法证明线面平行、垂直关系

[方法结论]

1．用向量证明平行的方法

(1)线线平行：证明两直线的方向向量共线．

(2)线面平行：证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；直线与平面内两不共线向量共面．

(3)面面平行：证明两平面的法向量为共线向量；转化为线面平行、线线平行问题．

2．用向量证明垂直的方法

(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．

(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．

(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．

[题组突破]

1．.(2017·汕头模拟)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：

(1)CM∥平面PAD；

(2)平面PAB⊥平面PAD. 证明：以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz. ∵PC⊥平面ABCD，

∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，

∴∠PBC＝30°，

∵PC＝2，∴BC＝23，PB＝4，

∴D(0,1,0)，B(23，0,0)，A(23，4,0)，P(0,0,2)，M→→∴DP＝(0，－1,2)，DA＝(23，3,0)，

33→CM＝，0，. 22

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33，0，，

22

(1)设n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，

→n＝0，DP·－y＋2z＝0，由即

→23x＋3y＝0，n＝0，DA·

令y＝2，得n＝(－3，2,1)．

33→∵n·CM＝－3×＋2×0＋1×＝0，

22→∴n⊥CM.又CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD. →→(2)法一：由(1)知BA＝(0,4,0)，PB＝(23，0，－2)，

设平面PAB的一个法向量为m＝(x0，y0，z0)，

→m＝0，BA·4y0＝0，由即

→23x－2z＝0，00m＝0，PB·

令x0＝1，得m＝(1,0，3)，

又∵平面PAD的一个法向量n＝(－3，2,1)，

∴m·n＝1×(－3)＋0×2＋3×1＝0，

∴平面PAB⊥平面PAD. 法二：如图，取AP的中点E，连接BE，

→则E(3，2，1)，BE＝(－3，2,1)．

∵PB＝AB，∴BE⊥PA. →→又∵BE·DA＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0，

→→∴BE⊥DA.∴BE⊥DA. 又PA∩DA＝A，∴BD⊥平面PAD. 又∵BE⊂平面PAB，

∴平面PAB⊥平面PAD. [误区警示]

对于空间中与平行、垂直相关的定理我们一定要准确记忆和理解，不能漏掉任何一个条件．如两平面平行的判定定理“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行”，必须注意“相交”，否则推不出两平面平行．

向量法求解空间角大小

[方法结论]

1．求直线与平面所成的角

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设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n|. |a||n|2．求二面角的大小

(1)若AB、CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小→→就是向量AB与CD的夹角(如图①)．

(2)设n1，n2分别是二面角α-l-β的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．

[典例]

(2017·高考全国卷Ⅲ)如图，在四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.

(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；

(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D-AE-C的余弦值．

解析：(1)证明：由题设可得，△ABD≌△CBD，从而AD＝DC. 又△ACD是直角三角形，所以∠ADC＝90°. 取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥AC，DO＝AO. 又由于△ABC是正三角形，故BO⊥AC. 所以∠DOB为二面角D-AC-B的平面角．

在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2. 又AB＝BD，所以

BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°. 所以平面ACD⊥平面ABC. →(2)由题设及(1)知，OA，OB，OD两两垂直．以O为坐标原点，OA的方向为x轴正方→向，|OA|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，

则A(1,0,0)，B(0，3，0)，C(－1,0,0)，D(0，0,1)．

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