3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示第二课时教学设计

“空间向量的正交分解和坐标表示”教学设计

海宁市高级中学

丁晨

一、教材分析

1．教材内容：本节课是人教版高中数学《选修2-1》第三章第一节3.1.4“空间向量的正交分解和坐标表示”的内容．教学内容包括空间向量基本定理，空间向量的正交分解和坐标表示．

2．教材的地位和作用：在这之前学过涉及到立体几何和向量的内容有：人教版高中数学《必修2》中空间几何体和点、直线、平面的位置关系，点在空间直角坐标系中的坐标表示，《必修4》的平面向量，还有前几小节空间向量的线性运算和数量积运算．“空间向量的正交分解和坐标表示”中空间向量基本定理是平面向量基本定理的空间推广，有了这个定理，空间任意一个向量就和有序实数组（x,y,z）建立起了一一对应的关系，即实现了几何问题的代数化．

二、学情分析

我们的授课对象是高二学生．他们通过对《必修2》中立体几何的学习，掌握了一定的立体几何知识；通过对空间向量线性运算和数量积的学习，掌握了空间向量基本运算；通过对《必修4》中平面向量的学习，基本掌握了平面向量的基本定理；通过对《必修2》中立体几何的学习，学生具备了一定的空间想象能力；通过一年多高中数学的学习，具备了一定的类比、归纳、推理的能力．

三、教学目标和教学重难点

根据浙江省普通高中学科教学指导意见（数学）的要求，结合教材内容以及学生学情分析，本节课的教学目标和教学重难点确定如下：

1．教学目标

通过类比、推广等思想方法，使学生理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，并会在简单问题中使用给定的基底表示任意向量，从而感悟特殊到一般、一般到特殊的数学思想．

2．教学重难点

重点：理解空间向量基本定理及其意义，会用给定的基底表示空间向量．

难点：空间向量基本定理的形成和理解．

四、教学法分析

教师层层设问，引导探究，学生动手操作实践，体会类比的方法，感悟从一般到特殊，从特殊到一般的思想．

五、教学过程

（一）情境引入

问题：空间中任一向量如何用几个向量来表示？

（二）实践构建新知

下面学生操作得到结果，感悟其中过程

在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，记ABa，ADb，AA1c，

（1）E为AB中点，能用a,b,c表示AE吗？

设计意图是开门见山、直入主题

设计意图是让学生通过一些具体例子的操作去感知空间向量基本定理，从不同的问题设置中去构建新的知识

（2）F为DC中点，能用a,b,c表示AF吗？

（3）能用a,b,c表示AD1吗？

（4）能用a,b,c表示AC1吗？

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（5）G为BC1中点，能用a,b,c表示AG吗？

（6）BHBC1，能用a,b,c表示AH吗？

（7）M为AC中点，N为CC1中点，能用a,b,c表示MN吗？

1问题1：记ABa，ADb，AA1c能用a,b,c表示MN吗？

2问题2：用AB,AC,AD能表示MN吗？

问题3：用AB,DC,AA1能表示MN吗？

如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，p=?

通过一系列的实践操作，对比平面向量基本定理得到空间向量基本定理．

x,y,z，使得pxaybzc，其中a,b,c为基底，a,b,c为基向量．

练习：在长方形ABCDA1B1C1D1中，AB5，AD4，AA13，在DA,DC,DD1上分别取单位向量e1,e2,e3，用e1,e2,e3来表示向量DB1．

如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组

类比、归纳中明确作为基底的三个向量要满足何种条件

对空间向量基本定理进行简要证明

设计意图是一方面通过这个练习，巩固前面的空间向量基本定理，另一方面引出新的知识，这样的练习环节起到承上启下的作用

这组基底比较特殊，它们两两互相垂直，我们把一个空间向量分解成三个两两互相垂直的向量来表示，叫做空间向量的正交分解．

空间中任一向量pxe1ye2ze3．

这组基底都是单位向量，那么e1,e2,e3叫做单位正交基底．

如果以D为原点，DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，学生观察DB1，DE表示中x,y,z的值和B1,E点的坐标有什么联系？

pxe1ye2ze3与点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标(x,y,z)一一对应，我们就有了从正交基底到直角坐标系的转换．

空间向量的坐标表示：p(x,y,z)．

（三）课堂练习

已知向量e1,e2,e3是空间的一组单位正交基底，向量p在这组基底下坐标为(1,2,3)，则向量p__________（用e1,e2,e3表示），在向量

设计意图是用一题多问的形式巩固知识点

e1,e2,e3,e1e2,e1e2中，任取三个向量作为一组基底，则不同的取法有_____种．

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（四）课堂小结

设计意图是点出这节课核心，让学生了解本节课内容

（五）提炼升华

在长方形ABCDA1B1C1D1中，AB5，AD4，AA13，自行选择一组基底，分别设为a,b,c，用它们来表示下列向量：

（1）DO1；

（2）EA1．

小结：基底其实就是表示一个n维空间中所有向量的“基本量”．

设计意图是发散学生的思维，点出向量基本定理的本质，以及向量基本定理的作用

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