3.1.1 空间向量及其加减运算教案设计（一等奖）

3.1 空间向量的概念及运算

※知识要点

1．空间向量的有关概念

(1)空间向量：空间中，具有______和______的量叫空间向量．

(2)相等向量：方向______且模长______的向量．

(3)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，则a∥b ⇔存在λ∈R，使得__________．

(4)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在惟一的有序实数对(x，y)，使得____________．

注意：设O是空间中任意一点，则有：

①若P，A，B三点共线，则OP→＝λ\s\up6(→→＋μ\s\up6(→→⇔___________；

②若P，M，A，B四点共面，则MP→＝x\s\up6(→→＋y\s\up6(→OP→＝x\s\up6(→→＋y\s\up6(→→＋z\s\up6(→→→或且x＋y＋z＝_____．

(5)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝___ ___________________，我们把空间中不共面的三个向量{a，b，c}叫做空间的一个

．

2．空间向量的数量积及运算律

(1)空间两个非零向量数量积：a·b＝

．

(2)空间向量数量积的运算律

①结合律：(λa)·b＝

；②交换律：a·b＝

；

③分配律：a·(b＋c)＝

．

3．空间向量的坐标表示及其应用

(1)若A(a，b→11，c1)，B(a2，b2，c2)，则AB＝

．

(2)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有：

向量表示

坐标表示

数量积

a·b=

a·b=

共线

a∥b⇔

a∥b⇔

定理

垂直

a⊥b⇔

a⊥b⇔

定理

模长

|a|=

|a|=

※题型讲练

【例1】如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．

(1)化简A→O－12\s\up6(→→1→1－2\s\up6(→＝

；

②设AB→=a，AD→=b，AA→→1=c，用a，b，c表示OC1．

变式训练1：

1．如图，在四面体O－ABC中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，用a，b，c表示OE→．

【例2】如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1B、AC上，A→→→1E＝2EB，CF＝2AF，若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，

(1)分别用a，b，c表示EF→和DB→1；

(2)求证：EF∥平面A1B1CD．

变式训练2：

1．已知a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，若a∥b，

求实数λ与μ的值．

2．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1B、AC上，A1E＝2EB，CF＝2AF，设正方体棱长为1，

(1)建立空间坐标系，分别用坐标表示\s\up6(→→和\s\up6(→→；

(2)求证：EF∥平面A1B1CD；

(3)求证：A1B⊥DB1．

【例3】如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°. (1)求AC1的长；

(2)求证：AC1⊥BD；

(3)求BD1与AC夹角的余弦值．

变式训练3：

1．已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．

(1)求|2a＋b|；

(2)在直线AB上是否存在一点E，使得\s\up6(→→⊥b(O为原点)?

2．已知在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点．

(1)求直线BE与A1C所成的角的余弦值；

(2)在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出AF；若不存在，请说明理由．

※课后练习

1．设向量a、b、c不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是(

) A．{a＋b，b－a，a}

B．{a＋b，b－a，b} C．{a＋b，b－a，c}

D．{a＋b＋c，a＋b，c} 2．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于________．

3．三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是_______．

4．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则\s\up6(→→·\s\up6(→→=_______．

5．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．

(1)求以\s\up6(→→，\s\up6(→→为边的平行四边形的面积；

(2)若|a|＝3，且a分别与\s\up6(→→，\s\up6(→→垂直，求向量a的坐标．

6．如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°. (1)求AC1的长；

(2)求BD1与AC夹角的余弦值．

7．直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点．

(1)求证：CE⊥A′D；

(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．