1.2.1 充分条件与必要条件教学实录

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[核心必知] 1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P9～P11的内容，回答下列问题．

(1)判断教材P9上方的两个命题的真假，并思考：

①当x>a2＋b2成立时，一定有x>2ab成立吗？

提示：一定有x>2ab成立．

②当ab＝0成立时，一定有a＝0成立吗？

提示：不一定，也可能b＝0．

(2)阅读教材P11“思考”的内容，并思考：

①若p成立，一定有q成立吗？

提示：一定有q成立．

②若q成立，一定有p成立吗？

提示：一定有p成立．

2．归纳总结，核心必记

(1)充分条件与必要条件

命题真假

“若p，则q”是真命题

“若p，则q”是假命题

推出关系

条件关系

(2)充要条件

一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．此时，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

[问题思考] (1)x>3是x>5的充分条件吗？

提示：不是．因为x>3x>5，但x>5⇒x>3，因此x>3是x>5的必要条件．

(2)如果p是q的充分条件，则p是唯一的吗？

“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/ p⇒q p是q的充分条件

q是p的必要条件

p不是q的充分条件

q不是p的必要条件

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提示：不唯一，如x>3，x>5，x>10等都是x>0的充分条件．

(3)若“x∈A”是“x∈B”的充要条件，则A与B的关系怎样？

提示：A＝B．

[课前反思] (1)充分条件的定义是：

；

(2)必要条件的定义是：

；

(3)充要条件的定义是：

．

[思考]

充分条件、必要条件、充要条件与命题“若p，则q”、“若q，则p”的真假性有什么关系？

名师指津：当命题“若p，则q”为真命题时，p是q的充分条件，q是p的必要条件；当命题“若q，则p”为真命题时，q是p的充分条件，p是q的必要条件；当上述两个命题都是真命题时，p是q的充要条件．

讲一讲

1．判断下列各题中p是q的什么条件．

(1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC;

(2)p：x>1，q：x2>1；

(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；

a(4)p：a

(1)由三角形中大角对大边可知，若A>B，则BC>AC；反之，若BC>AC，则A>B.因此，p是q的充要条件．

(2)由x>1可以推出x2>1；由x2>1，得x<－1，或x>1，不一定有x>1.因此，p是q的充分不必要条件．

(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．

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aaa(4)由于a1; 当b>0时，<1，故若a0，b>0，bbbaa<1时，可以推出ab.因此p是q的既不充分也不必bb要条件．

充分、必要条件的判断方法

判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用．

练一练

1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件．

(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；

(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. 解：(1)∵四边形的对角线相等的对角线相等，

∴p是q的既不充分也不必要条件．

(2)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)·(y－2)＝0，

而(x－1)(y－2)＝0

(x－1)2＋(y－2)2＝0，

四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形∴p是q的充分不必要条件．

[思考]

如何证明“p是q的充要条件”？

名师指津：证明“p是q的充要条件”即证明命题“若p，则q”和“若q，则p”都是真命题．

讲一讲

2．证明：a＋2b＝0是直线ax＋2y＋3＝0和直线x＋by＋2＝0垂直的充要条件．

[尝试解答]

(1)(充分性)当b＝0时，如果a＋2b＝0，那么a＝0，此时直线ax＋2y＋3＝0平行于x轴，直线x＋by＋2＝0平行于y轴，它们互相垂直．

a1当b≠0时，直线ax＋2y＋3＝0的斜率k1＝－，直线x＋by＋2＝0的斜率k2＝－，若2ba1－·－＝－1，两直线垂直．

a＋2b＝0，则k1·k2＝2ba1－·－＝－1，所以(2)(必要性)如果两条直线互相垂直且斜率都存在，则k1·k2＝2ba＋2b＝0.

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若两直线中直线的斜率不存在，且互相垂直，则b＝0，且a＝0，所以a＋2b＝0.

综上，“a＋2b＝0”是“直线ax＋2y＋3＝0和直线x＋by＋2＝0互相垂直”的充要条件．

一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q.

练一练

2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 证明：(充分性)：因为a＋b＋c＝0，

所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中得ax2＋bx－a－b＝0，

即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.

所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，

(必要性)：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，

所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.

所以有a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.

故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.

已知p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．

[思考1]

若p是q的充分条件，则A与B有什么关系？

名师指津：A⊆B．

[思考2]

若p是q的充分不必要条件，则A与B有什么关系？

名师指津：AB．

[思考3]

若p是q的充要条件，则A与B有什么关系？

名师指津：A＝B．

[思考4]

若p是q的既不充分也不必要条件，则A与B有什么关系？

名师指津：B讲一讲

3．已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

[尝试解答]

p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．

因为p是q的必要不充分条件，

所以q是p的充分不必要条件，

即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，

A，且AB．

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1－m≥－2，1－m>－2，故有或解得m≤3.

1＋m<101＋m≤10，又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0

根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．

练一练

3．若本讲中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．

解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．

因为p是q的充分不必要条件，

设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以A1－m≤－2，1－m<－2，所以或

1＋m>101＋m≥10.B.

解不等式组得m>9或m≥9，所以m≥9，

即实数m的取值范围是{m|m≥9}．

4．本讲中p、q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？

解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．

－2＝1－m，若p是q的充要条件，则方程组无解．

10＝1＋m，故不存在实数m，使得p是q的充要条件．

—————————————[课堂归纳·感悟提升]————————————————

1．本节课的重点是充分条件、必要条件、充要条件的判断，难点是充要条件的证明以及利用充分条件、必要条件求解参数的取值范围．

2．本节课的易错点是分不清“充分条件”与“必要条件”造成解题失误，见讲1和讲3. 3．本节课要重点掌握的规律方法

(1)判断充分条件与必要条件的方法，见讲1.

(2)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件

若A⊆B，则p是q的充分条件，若A则p是q的充分不必要条件

B，

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若B⊆A，则p是q的必要条件，若B则p是q的必要不充分条件

若A＝B，则p，q互为充要条件

A，

若A⊆B，且B⊆A，则p既不是q的充分条件，

也不是q的必要条件

其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．

4．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解，见讲3.

课时达标训练（三）

[即时达标对点练] 题组1

充分、必要条件的判断

1．“数列{an}为等比数列”是“an＝3n(n∈N*)”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选B

当an＝3n时，{an}一定为等比数列，但当{an}为等比数列时，不一定有an＝3n，故应为必要不充分条件．

2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A

由a＋b＝0可知a，b是相反向量，它们一定平行；但当a∥b时，不一定有a＋b＝0，故应为充分不必要条件．

3．“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和2x－2ay＝1平行”的

(

) A．充分不必要条件

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B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选C

当a＝0时，两直线方程分别为x＝1和2x＝1，显然两直线平行；反之，若两直线平行，必有1×(－2a)＝(－2a)×2，解得a＝0，故应为充要条件．

π14．“sin A＝”是“A＝”的__________条件．

26π5ππ1解析：由sin A＝不一定能推得A＝，例如A＝等；但由A＝一定可推得sin A2666π11＝，所以“sin A＝”是“A＝”的必要不充分条件．

226答案：必要不充分

题组2

充要条件的证明

5．函数y＝(2－a)x(a<2且a≠1)是增函数的充要条件是

(

) 3A．1< a<2

B.< a<2 2C．a<1

D．a<0 解析：选C

由指数函数性质得，当y＝(2－a)x(a<2且a≠1)是增函数时，2－a>1，解得a<1.故选C. 6．求证：一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0. 证明：①充分性：如果b＝0，那么f(x)＝kx，

因为f(－x)＝k(－x)＝－kx，

即f(－x)＝－f(x)，

所以f(x)为奇函数．

②必要性：因为f(x)＝kx＋b (k≠0)是奇函数，

所以f(－x)＝－f(x)对任意x均成立，

即k(－x)＋b＝－kx＋b，

所以b＝0.

综上，一次函数f(x)＝kx＋b (k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0. 题组3

利用充分、必要条件求参数的范围

7．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(

) A．a<0

B．a>0

C．a<－1

D．a<1 解析：选C

∵一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根．

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由于{a|a<－1}{a|a<0}，故选C. 8．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直的充要条件是m＝________．

2解析：x＋(m＋1)y＝2－m与mx＋2y＝－8互相垂直⇔1·m＋(m＋1)·2＝0⇔m＝－. 32答案：－

39．已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x| x 2－5 x－24<0}，若N是M的必要条件，求a的取值范围．

解：由(x－a)2<1，得a－1

由x 2－5 x－24<0，得－3

∵N是M的必要条件，

∴M ⊆N.

故a的取值范围为[－2，7]．

[能力提升综合练] 1．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(

) A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件

B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件

C．丙是甲的充要条件

D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

解析：选A

因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．

又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙丙，

如图．

综上，有丙⇒甲，但甲丙，

即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．

π2．设0

) 2“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/

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A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

π解析：选B

因为0< x<，所以01，因此充分性不成立．

3．平面α∥平面β的一个充分条件是(

) A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β

C．存在两条平行直线a、b，a⊂α，b

⊂β，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a、b，a⊂α，b

⊂β，a∥β，b∥α

解析：选D

当满足A、B、C三个选项中的任意一个选项的条件时，都有可能推出平面α与β相交，而得不出α∥β，它们均不能成为α∥β的充分条件．只有D符合．

4．设{an}是等比数列，则“a1

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选C

{ an }为等比数列，an＝a1·qn1，由a10，－q>1或a1<0，0< q<1，则数列{ an }为递增数列．反之也成立．

5．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分不必要条件是－2< x<－1，则a的取值范围是________．

解析：根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1){

x

|(

a＋x)(1＋x)<0}，故有a>2. 答案：(2，＋∞) 6．下列命题：

①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件；

②b2－4ac<0是一元二次不等式a x 2＋b x＋c<0解集为R的充要条件；

③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；

④“xy＝1”是“lgx＋lg y＝0 ”的必要不充分条件．

其中真命题的序号为________．

解析：①x>2且y>3时，x＋y>5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6.所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件；

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②不等式解集为R的充要条件是a<0且b2－4ac<0，故②为假命题；

a2③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则＝，∴a＝2.因此，“a＝2”是11“两直线平行”的充要条件；

④lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，

∴xy＝1且x>0，y>0.

所以“lg x＋lg y＝0”成立，xy＝1必然成立，反之不然．

因此“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．

综上可知，真命题是④. 答案：④

7．已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．

解：令f(x)＝x2＋(2k－1)x＋k2，则方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的实数根

2k－1⇔－>1，2f（1）>0Δ＝（2k－1）2－4k2≥0，⇔k<－2.

因此k<－2是使方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的实数根的充要条件．

8．已知条件p：|x－1|>a和条件q：2x2－3x＋1>0，求使p是q的充分不必要条件的最小正整数a. 解：依题意a>0.由条件p：|x－1|>a，

得x－1<－a或x－1>a，

∴x<1－a或x>1＋a.

1由条件q：2x2－3x＋1>0，得x<或x>1.

2要使p是q的充分不必要条件，即“若p，则q”为真命题，逆命题为假命题，应有111－a≤2，1－a<2，或

1＋a>11＋a≥1，1解得a≥.令a＝1，则p：x<0或x>2，

21此时必有x<或x>1.

2即p⇒q，反之不成立．

∴最小正整数a＝1.

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