1.2 充分条件与必要条件（通用）教案和课堂实录

1．四种命题及相互关系

2．四种命题的真假关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件与必要条件

(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；

(2)如果p⇒q，但q

p，则p是q的充分不必要条件；

(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；

(4)如果q⇒p，且p

q，则p是q的必要不充分条件；

(5)如果pq，且q

p，则p是q的既不充分又不必要条件．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“x2＋2x－3<0”是命题．(

×

) (2)命题“α＝π4，则tan α＝1”的否命题是“若α＝π4，则tan α≠1”．(

×(3)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．(

√

) (4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(

√

) (5)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(

√

)

)

(6)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(

√

)

1．(2015·山东)若m∈R, 命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(

) A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0 B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0 C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0 D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0 答案

D 解析

原命题为“若p，则q”，则其逆否命题为“若綈q，则綈p”．

∴所求命题为“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．

2．已知命题p：若x＝－1，则向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(

) A．0

B．2

C．3

D．4 答案

B 解析

向量a，b共线⇔x－x(x＋2)＝0⇔x＝0或x＝－1，

∴命题p为真，其逆命题为假，

故在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2. 3．(2015·重庆)“x＞1”是“log1(x＋2)＜0”的(

) 2A．充要条件

C．必要而不充分条件

答案

B B．充分而不必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析

x＞1⇒x＋2＞3⇒log1(x＋2)＜0，log1(x＋2)＜0

⇒x＋2＞1⇒x＞－1，故“x＞1”22是“log1(x＋2)＜0”成立的充分不必要条件．因此选B. 214．若a，b为实数，则“0

) aA．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案

D

11解析

当－1；当a>0，b<0时，由b<得到ab<0，aa1因此“0

①x＝2是x2－4x＋4＝0的必要不充分条件；

②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件；

③sin α＝sin β是α＝β的充要条件；

④ab≠0是a≠0的充分不必要条件．

其中为真命题的是________(填序号)．

答案

②④

题型一

命题及其关系

例1

(1)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数“的逆否命题是(

) A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数

B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数

C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数

D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数

(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(

) A．真，假，真

C．真，真，假

答案

(1)C

(2)B 解析

(1)由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”．

(2)先证原命题为真：当z1，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a－bi，则|z1|＝|z2|＝a2＋b2，

∴原命题为真，故其逆否命题为真；再证其逆命题为假：取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假，故选B. 思维升华

(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：

①对于不是“若p，则q“形式的命题，需先改写；

B．假，假，真

D．假，假，假

②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．

(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．

(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．

π1

(1)命题“若α＝，则cos α＝”的逆命题是(

) 32π1A．若α＝，则cos α≠

32π1B．若α≠，则cos α≠

321πC．若cos α＝，则α＝

231πD．若cos α≠，则α≠

23(2)命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是(

) A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0 B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0 C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0 D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0 答案

(1)C

(2)D π11π解析

(1)命题“若α＝，则cos α＝”的逆命题是“若cos α＝，则α＝”．

3223(2)“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D. 题型二

充分必要条件的判定

例2

(1)(2015·四川)设a，b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的(

) A．充要条件

C．必要不充分条件

ba(2)

“a>0，b>0”是“＋≥2”的(

) abA．充分不必要条件

C．充要条件

答案

(1)B

(2)A 解析

(1)根据指数函数的单调性得出a，b的大小关系，然后进行判断．

∵3a>3b>3，∴a>b>1，此时loga33b>3，11例如当a＝，b＝时，loga3b>1.故“3a>3b>3”是“loga3

D．既不充分也不必要条件

B．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件

充分不必要条件．

baba(2)若a>0，b>0，则根据基本不等式可得＋≥2；反之，＋≥2，则ab>0，不一定有a>0，ababbab>0.故“a>0，b>0”是“＋≥2”的充分不必要条件．故选A. ab思维升华

充要条件的三种判断方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；

(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．

(1)(2015·陕西)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的(

) A．充分不必要条件

C．充分必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

π(2)若命题p：φ＝＋kπ，k∈Z，命题q：f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p是q的(

) 2A．充要条件

C．必要不充分条件

答案

(1)A

(2)A 解析

(1)∵sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos2α－sin2α＝0；cos 2α＝0⇔cos α＝±sin αsin α＝cos α，故选A. π(2)当φ＝＋kπ，k∈Z时，f(x)＝±cos ωx是偶函数，所以p是q的充分条件；若函数f(x)＝sin(ωx2π＋φ)(ω≠0)是偶函数，则sin φ＝±1，即φ＝＋kπ，k∈Z，所以p是q的必要条件，故p是q2的充要条件，故选A. B．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件

题型三

充分必要条件的应用

例3

已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．

解

由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}，

由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P. 1－m≤1＋m，则1－m≥－2，

∴0≤m≤3.1＋m≤10，

∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．

引申探究

1．本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

解

若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，

1－m＝－2，m＝3，∴∴

1＋m＝10，m＝9，

即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

2．本例条件不变，若x∈綈P是x∈綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

解

由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，

∵綈P是綈S的必要不充分条件，

∴P⇒S且SP．∴[－2,10][1－m,1＋m]．

1－m≤－2，1－m<－2，∴或

1＋m>101＋m≥10.

∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．

思维升华

充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．

(2)要注意区间端点值的检验．

(1)ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是(

) A．0

C．a≤1

B．a<1 D．0

10，

答案

(1)C

(2)2解析

(1)方法一

当a＝0时，原方程为一元一次方程2x＋1＝0，有一个负实根．

当a≠0时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是Δ＝4－4a≥0，即a≤1. 设此时方程的两根分别为x1，x2，

21则x1＋x2＝－，x1x2＝，

aaa≤1，当只有一个负实根时，1⇒a<0；

<0a

－2<0，⇒00综上所述，a≤1. a≤1，

方法二

(排除法)当a＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A，D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B. 1(2)命题p为x|2≤x≤1，

命题q为{x|a≤x≤a＋1}．

1綈p对应的集合A＝{x|x>1或x<}，

2綈q对应的集合B＝{x|x>a＋1或x

∵綈p是綈q的必要不充分条件，

a＋1>1，a＋1≥1，∴1或1

a≤2a<2，1∴0≤a≤. 2

1．等价转化思想在充要条件中的应用

典例

(1)已知p：(a－1)2≤1，q：∀x∈R，ax2－ax＋1≥0，则p是q成立的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(2)已知条件p：x2＋2x－3>0；条件q：x>a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是(

) A．[1，＋∞)

C．[－1，＋∞)

B．(－∞，1]

D．(－∞，－3]

解析

(1)由(a－1)2≤1解得0≤a≤2，∴p：0≤a≤2. 当a＝0时，ax2－ax＋1≥0对∀x∈R恒成立；

a>0当a≠0时，由得0

2Δ＝a－4a≤0

∴q：0≤a≤4. ∴p是q成立的充分不必要条件．

(2)由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．

∴{x|x>a}{x|x<－3或x>1}，∴a≥1. 答案

(1)A

(2)A 温馨提醒

(1)本题用到的等价转化

①将綈p，綈q之间的关系转化成p，q之间的关系．

②将条件之间的关系转化成集合之间的关系．

(2)对一些复杂、生疏的问题，利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题，在解题中经常用到．

[方法与技巧]

1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．

2．充要条件的几种判断方法

(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．

(2)等价法：即利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B；A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．

(3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件．

[失误与防范]

1．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提．

2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，

则q”的形式．

3．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言．

A组

专项基础训练

(时间：30分钟) 1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(

) A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

答案

B 解析

依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．

2．(2015·天津)设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案

A 解析

由|x－2|＜1得1＜x＜3，所以1＜x＜2⇒1＜x＜3；但1＜x＜3

1＜x＜2，故选A. 3．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是(

) A．3

B．2

C．1

D．0 答案

C 解析

原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；

它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，

显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．

因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．

4．已知A，B是非空集合，条件甲：A∪B＝B，条件乙：AB，那么(

) A．甲是乙的充分不必要条件

B．甲是乙的必要不充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲是乙的既不充分也不必要条件

答案

B 解析

若AB，则A∪B＝B，反之A∪B＝B，则A⊆B，故甲是乙的必要不充分条件．故选B. 5．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案

A 解析

因为菱形的对角线互相垂直，所以“四边形ABCD为菱形”⇒“AC⊥BD”，所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件；又因为对角线垂直的四边形不一定是菱形，所以“AC⊥BD”

“四边形ABCD为菱形”，所以“四边形ABCD为菱形”不是“AC⊥BD”的必要条件．

综上，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．

π0，，ksin xcos x＜x”是“k＜1”的(

) 6．(2015·福建)“对任意x∈2A．充分而不必要条件

C．充分必要条件

答案

B ππ2x0，，ksin xcos x＜x⇔∀x∈0，，k＜解析

∀x∈，令f(x)＝2x－sin 2x.∴f′(x)＝222sin 2xπ0，为增函数，∴f(x)＞f(0)＝0. －2cos 2x＞0，∴f(x)在22x∴2x＞sin 2x，∴＞1，∴k≤1，故选B. sin 2x7．

“a≠5且b≠－5”是“a＋b≠0”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案

D 解析

“a≠5且b≠－5”推不出“a＋b≠0”，例如a＝2，b＝－2时，a＋b＝0；“a＋b≠0”推不出“a≠5且b≠－5”，例如a＝5，b＝－6.故“a≠5且b≠－5”是“a＋b≠0”的既不充分也不必要条件．故选D. B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

log2x，x>0，8．函数f(x)＝x有且只有一个零点的充分不必要条件是(

) －2＋a，x≤0

A．a<0

1C.

2答案

A 1B．0

2D．a≤0或a>1 解析

因为函数f(x)过点(1,0)，所以函数f(x)有且只有一个零点⇔函数y＝－2x＋a(x≤0)没有零点⇔函数y＝2x(x≤0)与直线y＝a无公共点．由数形结合，可得a≤0或a>1. 观察选项，根据集合间关系得{a|a<0}{a|a≤0或a>1}，故答案选A. 9．“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．

答案

2 解析

其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．

10．若xm＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．

答案

[0,2]

解析

由已知易得{x|x2－2x－3>0}{x|xm＋1}，又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，

－1≤m－1，－1

11．给定两个命题p、q，若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的________条件．

答案

充分不必要

解析

若綈p是q的必要不充分条件，则q⇒綈p但綈p⇒/ q，其逆否命题为p⇒綈q但綈q⇒/

p，所以p是綈q的充分不必要条件．

12．下列命题：

①若ac2>bc2，则a>b；

②若sin α＝sin β，则α＝β；

③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；

④若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．

其中正确命题的序号是________．

答案

①③④

解析

对于①，ac2>bc2，c2>0，∴a>b正确；

对于②，sin 30°＝sin 150°⇒/ 30°＝150°，

所以②错误；

对于③，l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，即－2a＝－4a⇒a＝0且A1C2≠A2C1，所以③正确；

④显然正确．

B组

专项能力提升

(时间：15分钟) 13．已知a，b为实数，且ab≠0，则下列命题错误的是(

) a＋bA．若a>0，b>0，则≥ab

2a＋bB．若≥ab，则a>0，b>0 2a＋bC．若a≠b，则>ab

2a＋bD．若>ab，则a≠b

2答案

C 解析

选项A，由基本不等式可得：若a>0，b>0，

则a＋b≥ab，故A正确；

2a＋b选项B，由ab有意义可得a，b不可能异号，结合≥ab可得a≥0，b≥0，由ab≠0可2得a≠0，b≠0，故可得a>0，b>0，故B正确；

选项C，需满足a，b同为正数才成立，若a＝－1，b＝2，显然满足a≠b，但ab无意义，故C错误；

a＋b选项D，把>ab的两边分别平方，整理可得(a－b)2>0，显然a≠b，故D正确．故选C. 2214．(2015·湖北)设a1，a2，…，an∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，an成等比数列；q：(a21＋a2＋…2222＋a2n－1)(a2＋a3＋…＋an)＝(a1a2＋a2a3＋…＋an－1an)，则(

) A．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

C．p是q的充分必要条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

答案

B 222222解析

若p成立，设a1，a2，…，an的公比为q，则(a21＋a2＋…＋an－1)(a2＋a3＋…＋an)＝a1(122n422＋q2＋…＋q2n4)·a2)＝a1a2(1＋q2＋…＋q2n4)2，(a1a2＋a2a3＋…＋an－1an)22(1＋q＋…＋q－－－＝(a1a2)2(1＋q2＋…＋q2n4)2，故q成立，故p是q的充分条件．取a1＝a2＝…＝an＝0，则q－

成立，而p不成立，故p不是q的必要条件，故选B. 15．如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，那么“[x]＝[y]”是“|x－y|<1成立”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案

A 解析

若[x]＝[y]，则|x－y|<1；反之，若|x－y|<1，如取x＝1.1，y＝0.9，则[x]≠[y]，即“[x]＝[y]”是“|x－y|<1成立”的充分不必要条件．故选A. 1x16．已知集合A＝x|2<2<8，x∈R，B＝{x|－1

答案

(2，＋∞) 1x解析

A＝x|2<2<8，x∈R＝{x|－1

∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，

∴AB，∴m＋1>3，即m>2. 17．设a，b为正数，则“a－b>1”是“a2－b2>1”的________条件．

答案

充分不必要

解析

∵a－b>1，即a>b＋1. 又∵a，b为正数，

∴a2>(b＋1)2＝b2＋1＋2b>b2＋1，即a2－b2>1成立，反之，当a＝3，b＝1时，满足a2－b2>1，但a－b>1不成立．所以“a－b>1”是“a2－b2>1”充分不必要条件．

18．下列四个结论中：

①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要条件；②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的充要条件；④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件．

正确的是________．

答案

①④

解析

由λ＝0可以推出λa＝0，但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确．

由AB2＋AC2＝BC2可以推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确．

由a2＋b2≠0可以推出a，b不全为零，

反之，由a，b不全为零可以推出a2＋b2≠0，

所以“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件，而不是“a，b全不为零”的充要条件，③不正确，④正确．