二、圆锥曲线的离心率与统一方程PPT专用课堂实录内容

圆锥曲线之离心率的求法

一、内容及其解析

历年来解析几何部分是高考的“重头戏”，而圆锥曲线内容又是解析几何部分的重中之中，离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，是描述圆锥曲线形状的重要参数.其中求解圆锥曲线的离心率问题是新课标高考中的一大热点问题，这类问题涉及到的知识点比较多，综合性比较强，对学生的思维能力和运算能力有较高的要求，所以学生在解决这类问题时，常常会感到无从下手.其实解决这类问题就是想方设法找到a，cb，c三者之间的关系，然后转化为关于离心率e＝的问题，其关键是如何分析题意，深入挖掘出题目所隐a含的条件. 高考中考查离心率试题全国卷几乎只考察两类：一是根据一定条件求离心率的值；二是根据一定条件求离心率的取值范围；

二、教学目标

（1）掌握求椭圆和双曲线的离心率值的技巧和方法；

（2）掌握几种常见的数学思想方法在解析几何中的应用. 三、教学重难点

重点：圆锥曲线离心率的定义；

难点：如何根据已知条件构造关于a，c的齐次等式. 四、教学过程

1、创设情境，导入专题。

（1）向学生介绍离心率在近3年的全国新课标卷中的试题分布，引起学生的重视；

（2）离心率是圆锥曲线的一个特别重要的性质，是解析几何的重点和难点，也是高考中考察的高频考点，我们称之为“小题之王”一点也不为过. 2、知识回顾

复习圆锥曲线中与离心率相关的简单的几何性质. 3、例题研讨,方法总结, 构造关于a、c的齐次式方程，解出e. x2y2例1．

(2016·高考全国卷甲)已知F1，F2是双曲线E：2－2＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与ab1x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为(

) 33A.2

B.

2C.3

D．2 本题是利用已知条件，建立关于a，c的齐次方程，转化为求e的方程。解题关键是在三角形中找到关于a和c的关系式，若找到的是关于a和b的关系式，可以想方法把b转化为c来计算. 解题步骤：（1）仔细审题，画出正确的图形；（2）列出关于a，b，c的齐次方程；（3）消去b，得到a，c的方程，求解离心率e. c2y2y2c2b2b2解析：.设F1(－c，0)，将x＝－c代入双曲线方程，得2－2＝1，所以2＝2－1＝2，所以y＝±.因abbaaab2221|MF1|ab2c－acae122为sin∠MF2F1＝，所以tan∠MF2F1＝＝＝＝＝－＝－＝，所以e2－e－1＝3|F1F2|2c2ac2ac2a2c22e420，所以e＝2.故选A.

小试牛刀

x2y21．(2017·高考全国卷甲)若双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的ab弦长为2，则C的离心率为(

) A．2

B．3

C.2

23D．

3x2y2解析：选A.依题意，双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为bx－ay＝0.因为直线bx－ayab＝0被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，所以b21＋2＝1＋3＝2，选择A. a|2b|2222222＝4－1，所以3a＋3b＝4b，所以3a＝b，所b＋a以e＝

设计意图：通过测试，了解学生对双曲线的定义式及相关量间的关系、三角形的相关应用、根据转化与化归思想方法化简求值的掌握情况.

x2y2例2.

(2017·高考全国卷丙)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2ab为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(

) A．C.63

B．

331D．

32

3本题考查的问题是椭圆的几何性质和离心率的计算，主要是能利用几何性质和椭圆的定义式集合椭圆中基本量间的关系进而求出离心率.建立一个a，b，c的方程，并通过这个方程，建立a，c之间的方程，只要能通过这个方程求出即可，不一定具体求出a，c的值.

解析：选A.以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝2ab2222＝a，得a＝3b，所以C的离心率e＝b＋a

b261－2＝，选A. a3小试牛刀

x2y22.

(2016·高考全国卷丙)已知O为坐标原点，F是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为Cab的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(

) 11A.

B.

322C.

33

D.

4mcmxy－c，m－，0，和B(a，解析：选A.设E(0，m)，则直线AE的方程为－＋＝1，由题意可知Ma2ammcmmm－－a22c10)三点共线，则＝，化简得a＝3c，则C的离心率e＝＝. a3－c－a设计意图：熟练利用平面几何和圆锥曲线的集合性质来解题.本题主要考查的问题是，利用三角函数、平面几何和方程思想求离心率.主要是能过M点作x轴的垂线，然后利用三角函数计算出M点的坐标，再

根据M点在双曲线上则把M点坐标带入双曲线方程，结合a，b，c三者的关系求出离心率.

五、归纳小结

在求解圆锥曲线的离心率问题时，要把握一个基本思想，就是充分利用已知条件和挖掘隐含条件建立a与

c的关系式 .建立关系式时，通常从平面几何知识入手，寻找图像中的平行、垂直关系，以及三角形的相似，或利用方程（组）思想，借助坐标关系，然后转化为圆锥曲线中的元素a，b，c的齐次关系式解题.

六、作业：完成练习册P2123,4,5及测试题