阅读材料教案评析

《正弦定理》教案

一、教学内容分析：

（一）内容与内容解析

本节课是人教版高中新课标数学A版必修（五）的第一章《解三角形》第一节《正弦定理和余弦定理》的第一课时，本节旨在基于高二已学的三角知识，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间数量关系，引出正弦定理。

本节课的主要内容是引入证明正弦定理及正弦定理的基本应用，在课型上属于“定理教学课”。学生在教师的引导下发现并证明正弦定理，不仅能复习巩固旧知识，掌握新的有用的知识，而其还能够体会数学知识之间的相互联系，开阔自己的思路，锻炼自己的数学思维能力。学生通过对定理证明的探究和讨论，体验到数学理论发现和发展的过程，进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

（二）地位与作用解析

正弦定理既是初中解直角三角形在高中知识下的直接延拓，也是对高中坐标和圆等相关知识的综合运用，是生产和生活中解决实际问题的重要工具。正弦定理给出了任意三角形边角的一个等量关系，它与后面即将要讲授的另一个边角关系——余弦定理都是解三角形的重要工具。

二、学情分析：

对于高中的学生，一方面已经学***面几何、解直角三角形等知识，另一方面也具备了一定的观察分析和解决问题的能力；但是学生往往会在对新知识的理解应用以及与已学知识的联系上出现思维障碍，思维灵活性、深刻性受到制约。根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，注意前后知识间的联系，引导学生直接参与分析问题、解决问题。

三、设计思想：

培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要方面，也是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢？这就要求在教学过程中以学生为主体，充分的发挥学生的主观能动性，也就是使学生在教师的指导下，自主进行思考和探究活动。建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不仅是通过教师传授得到的，更重要的是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。从学生的角度出发设计课堂，从有利于学生主动探索设计数学情境。新课标指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有趣的和富有挑战性的。从心理学的角度看，青少年有一种好奇的心态、探究的心理。因此，课堂设计要紧紧地抓住高二学生的这一特征，利用“正弦定理的发现和证明”这一富有挑战性和探索性的材料，精心设计教学情境，使学生在观察、实验、猜想、验证、推理等活动中，逐步形成创新意识。本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则而进行设计。

四、教学目标：

1、在创设日常生活的问题情境中，让学生从已有的几何知识和处理几何图

形的常用方法出发，由简单到复杂，步步推进，探索和证明正弦定理。

2、能运用正弦定理解决三角形的两类基本问题，并初步认识用正弦定理解三角形时，会有一解、两解、无解三种情况。

3、认识数学知识之间的相互联系，体会数学知识的不断探索和发展的过程，同时培养学生严谨的数学思维。

4、通过对实际问题的探索，培养学生的数学应用意识，激发学生学习的兴趣，让学生感受到数学知识既来源于生活，又服务与生活。

5、在教学过程中，要引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题：

（1）已知两角和一边，解三角形：

（2）已知两边和其中一边的对角，解三角形。 五、教学重点与难点：

1、

教学重点：正弦定理的探索与证明；正弦定理的基本应用。

2、

教学难点：正弦定理的探索与证明。

3、

重难点突破方法：抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导。

六、教学方式：以学生为中心，以教师为主导，启发式教学。

七、教学流程设计：

情

景

引

入

八、教学过程：

1、创立情景，导入新课

（1）展示辽阳白塔、千山、太子河图片，引导学生发现问题：如何能够实现不登山而知山高，不过河而知河宽；

（2）创设情境提出问题：某人站在太子河岸边点B位置，发现对岸A处有一个宣传板，如何能够求出A、B两点间的距离？（启发学生发现问题实质是：已知△ABC中∠B、∠C和BC长度，求AB距离.即：已知三角形中两角及其夹边，求其它边）

探究证明探究一

探究二

解读定理运用定理小结归纳布置作业

2、逻辑推理，探究证明

1.正弦定理的推导

sinAaBsinB,sinC1c,C，

（1）在直角三角形中：abcabc

即

csinA，csinB，csinC ∴sinA=sinB=sinC

能否推广到斜三角形？

（2）斜三角形中 （等积法，利用三角形的面积转换）在任意斜△ABC中，先作出三边上的高AD、scin，BBEasinC，CFbsinA．所以BE、CF，则ADSABC11absiCnac221Bsinbc2Aabcsin，每项同除以2即得：1abcsinAsinBsinC．

结论：对任意ABC，总有abc，我们把这条性质称为正弦定理。

sinAsinBsinC（这就是今天要讲的内容，把课题写在黑板上）

3、解读定理，加深理解

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k，使aksinA,bksinB,cksinC；

abcabbcac（2）sinA=sinB=sinC等价于sinA=sinB，sinB=sinC，sinA=sinC，即可得正弦定理的变形形式：

1）a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC；

sinAabc,sinB,sinC2R2R2R；

2）3）sinA:sinB:sinCa:b:c．

（3）利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题： 1）两角和任意一边，求其它两边和一角；如absinAsinB；

2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．如sinAasinBb。

一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形，有两解或一解（见图示）．

absinA

bsiAnab

ab ab

一解

两解

一解 一解 注意：（1）正弦定理的叙述：在一个三角形中。各边和它所对角的正弦比相abc等，即：sinA=sinB=sinC它适合于任何三角形。

abc （2）可以证明sinA=sinB=sinC2R （R为△ABC外接圆半径）

（3）每个等式可视为一个方程：知三求一

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

4、求解例题，巩固定理

00ABC中，c10,A45,C30,求a,b和B

例1 已知在ac0000c10,A45,C30B180(AC)105解：∴ 由sinAsinC得 csinA10sin450bca102sinCsin300

由sinBsinC得

csinB10sin1050620b20sin752056520sinC4sin30

0ABC中，b3,B60,c1,求a和A,C

例2 在

解：∵bccsinB1sin6001,sinCsinBsinCb23，bc,B600,CB,C为锐角，

C300,B900 ∴ab2c22

0ABC中，c6,A45,a2,求b和B,C

例3 解：accsinA6sin4503,sinCsinAsinCa22

csinAac,C600或1200

csinB6sin750当C60时，B75,b310sinCsin60，

00csinB6sin150当C120时，B15,b31sinCsin600

00b31,B750,C600或b31,B150,C1200

例4 试判断下列三角形解的情况：

0b11,c12,B60（1）已知

0a7,b3,A110（2）已知

0b6,c9,B45（3）已知 5、巩固深化，反馈矫正

（学生尝试）

1.在ABC中，三个内角之比A:B:C1:2:3，那么a:b:c等于____ 002.在ABC中，B135,C15,A5,则此三角形的最大边长为_____ 3.在ABC中，已知axcm,b2cm,B45，如果利用正弦定理解三角形有两解，则的取值范围是_____ 4.在ABC中，已知b2csinB，求C的度数

6、归纳小结，提高升华

abc1、正弦定理sinAsinBsinC，它是解三角形的工具之一。

02、正弦定理可以解决以下两种类型的三角形：

（1）已知两角及任意一边；

（2）已知两边及其中一边的对角.

九、板书设计：

课题：正弦定理

正

弦

定

理

十、教学设计说明：

本设计通过学生在学习生活过程中经常遇到的一个问题展开，通过对简单情景的不断改进，引导学生观察三角形的边角关系式，并由此猜想出正弦定理的表达形式，利用动态几何软件进行直观的观察，然后引导学生给出证明，思路自然，是学生们易于接受的一种讲解方法。正弦定理的证明方法有很多，如利用三角形的面积公式、三角形的外接圆、坐标法等。但是综合各种方法，用三角形外接圆的证明方法不仅可以简单的得出基本的正弦定理的表达形式，而且还可以得出比值等于外接圆的直径的这个性质。这种证明方法也充分的体现了数学知识的相关性，使学生体会到了数学知识的探究和发展的过程。

本节课采用探究式课堂教学模式，即在教师的启发引导下，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供表达、质疑、探究问题的机会，让学生在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力。